تفريغ خزان باستخدام مضخات متعددة (مسألة رياضيات)

بمعدلاتها الفردية، تستطيع كل من المضخة (أ) و(ب) و(ج) إما ملء خزان فارغ أو ضخ الماء خارج الخزان الممتلئ في 2 و3 و6 ساعات على التوالي. عند استخدام المضخات (أ) و(ب) لضخ الماء من نصف الخزان، في حين يتم استخدام المضخة (ج) لملء الماء في الخزان، كم من الوقت سيستغرق لتفريغ الخزان؟

لنقم بحساب السعات الفردية لكل مضخة، حيث أن سعة المضخة تعكس كمية الماء التي تقوم بنقلها في الساعة. إذاً، نستخدم العلاقة التالية:

سعة المضخة = العمليات التي تقوم بها المضخة في الساعة

للمضخة (أ): سعة المضخة (أ) = 1/2 (تعبئة) في الساعة و 1/2 (ضخ) في الساعة

للمضخة (ب): سعة المضخة (ب) = 1/3 (تعبئة) في الساعة و 2/3 (ضخ) في الساعة

للمضخة (ج): سعة المضخة (ج) = 1/6 (تعبئة) في الساعة و 5/6 (ضخ) في الساعة

الآن، عندما نستخدم المضخات (أ) و(ب) لضخ الماء من نصف الخزان، بينما تقوم المضخة (ج) بملء الماء في الخزان، سنقوم بتجميع السعات والعمليات المختلفة:

سعة الضخ (أ) و (ب) = سعة المضخة (أ) + سعة المضخة (ب) = (1/2 + 1/3) = 5/6 في الساعة

سعة التعبئة (ج) = سعة المضخة (ج) = 1/6 في الساعة

الآن نقوم بحساب الزمن اللازم لتفريغ الخزان باستخدام العلاقة التالية:

الزمن = الكمية / السعة

حيث أن الكمية تمثل حجم الخزان (1 وحدة) والسعة تمثل المجموع الكلي لسعات الضخ (أ) و(ب) وسعة التعبئة (ج) معًا (5/6 + 1/6) = 1 في الساعة

الآن نقوم بحساب الزمن:

الزمن = 1 / 1 = 1 ساعة

إذاً، سيتم تفريغ الخزان خلال ساعة واحدة.

لنقم بتوضيح تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة وسنذكر القوانين المستخدمة في الحل.

أولاً وقبل الشروع في الحل، يجب فهم القوانين الأساسية التي تحكم عملية تفريغ الخزان باستخدام المضخات المختلفة. هناك قاعدة تقول إن السعة تمثل كمية الماء التي تتحرك في الوحدة الزمنية، وهي تعكس كمية العمل التي تقوم به المضخة. تستخدم القاعدة التالية:

$\text{سعة المضخة} = \frac{\text{العمليات التي تقوم بها المضخة في الساعة}}{الوحدة الزمنية}$

ثم يتم حساب سعة كل مضخة بناءً على المعلومات المعطاة في المسألة:

$\text{سعة المضخة (أ)} = \frac{1}{2} \text{ (تعبئة)} + \frac{1}{2} \text{ (ضخ)}$

$\text{سعة المضخة (ب)} = \frac{1}{3} \text{ (تعبئة)} + \frac{2}{3} \text{ (ضخ)}$

$\text{سعة المضخة (ج)} = \frac{1}{6} \text{ (تعبئة)} + \frac{5}{6} \text{ (ضخ)}$

ثم يتم حساب سعة الضخ باستخدام المضخات (أ) و(ب) معًا:

$\text{سعة الضخ (أ) و (ب)} = \text{سعة المضخة (أ)} + \text{سعة المضخة (ب)} = \frac{5}{6}$

وأخيرًا، يتم حساب الزمن اللازم لتفريغ الخزان باستخدام المضخات (أ) و(ب) لضخ الماء من نصف الخزان، والمضخة (ج) لتعبئة الماء في الخزان. يستخدم القانون التالي:

$\text{الزمن} = \frac{\text{الكمية}}{\text{السعة الإجمالية للضخ}}$

حيث أن الكمية تمثل حجم الخزان (1 وحدة) والسعة الإجمالية للضخ هي جمع سعات المضخات (أ) و(ب) وسعة التعبئة (ج) معًا (1 في الساعة).

$\text{الزمن} = \frac{1}{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} = 1$

إذاً، يتم تفريغ الخزان في ساعة واحدة.