تفاقم سكان بلدة: حل الزيادة المئوية (مسألة رياضيات)

تفاقمت سكان بلدة بنسبة 25٪ و 40٪ على التوالي في سنتين متتاليتين. بعد هذا النمو، بلغ إجمالي سكان البلدة الحالي 1750 نسمة. إذا، ما هو إجمالي سكان البلدة قبل سنتين؟

لنفترض أن السكان الحاليين للبلدة يعبر عنهم “س”، ولنستخدم النسبة المئوية للزيادة للتعبير عن التغير في العدد السكاني. إذاً، يمكننا كتابة المعطيات كمعادلة رياضية:

$س = س \times (1 + \frac{25}{100}) \times (1 + \frac{40}{100})$

الآن، لنقم بحساب قيمة “س”:

$س = 1750$

$1750 = س \times 1.25 \times 1.40$

$س = \frac{1750}{1.25 \times 1.40}$

$س = \frac{1750}{1.75}$

$س = 1000$

لذا، إجمالي سكان البلدة قبل سنتين كان 1000 نسمة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق مبدأ زيادة النسب المئوية بشكل تتابعي على السكان. نستخدم القانون التالي:

$\text{القانون: } \text{القيمة الجديدة} = \text{القيمة القديمة} \times (1 + \frac{\text{نسبة الزيادة}}{100})$

نستخدم هذا القانون مرتين لحساب النمو في السكان على مدى سنتين.

لنعيد صياغة السياق الرياضي لتوضيح الحل:

لنفترض أن السكان الحاليين للبلدة يعبر عنهم “س”. في السنة الأولى زاد السكان بنسبة 25٪، لذا في نهاية السنة الأولى يصبح عدد السكان:

$س_1 = س \times (1 + \frac{25}{100})$

ثم في السنة الثانية، زاد السكان بنسبة 40٪ من القيمة الناتجة من السنة الأولى، لذا في نهاية السنة الثانية يصبح عدد السكان:

$س_2 = س_1 \times (1 + \frac{40}{100})$

ونعلم أن الناتج النهائي هو 1750، لذا:

$س_2 = 1750$

الآن نستخدم العلاقة بين $س_1$ و $س_2$ للوصول إلى قيمة $س$ الأصلية:

$س = \frac{س_2}{1 + \frac{40}{100}}$

$س = \frac{1750}{1.4}$

$س = 1250$

إذاً، إجمالي سكان البلدة قبل سنتين كان 1250 نسمة.

القوانين المستخدمة:

1. زيادة النسبة المئوية: $\text{القيمة الجديدة} = \text{القيمة القديمة} \times (1 + \frac{\text{نسبة الزيادة}}{100})$
2. استخدام الناتج النهائي للعام الأول كقيمة أولية لحساب الناتج النهائي في العام الثاني.