تفاصيل حل مسألة الكرات الهندسية (مسألة رياضيات)

حجم الكرة QQ أقل بنسبة $\frac{37}{64}\%$ من حجم الكرة PP، وحجم الكرة RR أقل بنسبة $\frac{19}{27}\%$ من حجم الكرة QQ. ما هو الفارق بين مساحة سطح الكرة RR ومساحة سطح الكرة PP؟

للبداية، دعنا نعبر عن حجم الكرات باستخدام النسب المعطاة. لنفترض أن حجم الكرة PP هو $V_{\text{PP}}$. إذاً، حجم الكرة QQ يكون:

$V_{\text{QQ}} = V_{\text{PP}} – \frac{37}{64} \times V_{\text{PP}}$

وحجم الكرة RR يكون:

$V_{\text{RR}} = V_{\text{QQ}} – \frac{19}{27} \times V_{\text{QQ}}$

الآن، لنقم بحساب هذه القيم. ببساطة، نقوم بالتعويض في القيم وحساب النتائج:

$V_{\text{QQ}} = V_{\text{PP}} – \frac{37}{64} \times V_{\text{PP}} = \frac{27}{64} \times V_{\text{PP}}$

ثم:

$V_{\text{RR}} = \frac{27}{64} \times V_{\text{PP}} – \frac{19}{27} \times \left(\frac{27}{64} \times V_{\text{PP}}\right)$

نبسط هذه الصيغة للحصول على حجم الكرة RR بالنسبة لحجم الكرة PP.

الآن، بمعرفة حجم الكرة RR والكرة PP، يمكننا حساب مساحة سطح كل كرة باستخدام الصيغة العامة:

$A_{\text{PP}} = 4\pi r_{\text{PP}}^2$
$A_{\text{RR}} = 4\pi r_{\text{RR}}^2$

حيث $r_{\text{PP}}$ و $r_{\text{RR}}$ هما أشعار الكرتين. وبعد ذلك، يمكننا حساب الفارق بين مساحتي السطح:

$\text{Difference} = A_{\text{PP}} – A_{\text{RR}}$

وهذا يمثل الإجابة على السؤال حول فارق مساحة سطح الكرة RR عن مساحة سطح الكرة PP.

بالطبع، دعونا نوضح الحل بشكل أكثر تفصيلاً ونشرح القوانين المستخدمة في هذه المسألة.

لنقم بحل المسألة بالخطوات:

1. تعبير عن حجم الكرة QQ:
   نستخدم النسبة المعطاة $\frac{37}{64}\%$ لتعبير عن حجم الكرة QQ بالنسبة لحجم الكرة PP. يتم ذلك عن طريق ضرب حجم الكرة PP في النسبة المقابلة:

   $V_{\text{QQ}} = V_{\text{PP}} – \frac{37}{64} \times V_{\text{PP}} = \frac{27}{64} \times V_{\text{PP}}$

2. تعبير عن حجم الكرة RR:
   بناءً على النسبة $\frac{19}{27}\%$، نستخدم حجم الكرة QQ للتعبير عن حجم الكرة RR:

   $V_{\text{RR}} = V_{\text{QQ}} – \frac{19}{27} \times V_{\text{QQ}}$

   يمكن تبسيط هذه الصيغة للحصول على حجم الكرة RR بالنسبة لحجم الكرة PP.

3. حساب مساحة سطح الكرة:
   نستخدم الصيغة العامة لمساحة سطح الكرة لحساب مساحة سطح الكرتين. الصيغة هي:

   $A = 4\pi r^2$

   حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

   لكل كرة (PP، QQ، RR)، نقوم بحساب نصف قطر الكرة باستخدام حجم الكرة وترتيب الصيغة للعثور على $r$.

4. حساب فارق مساحة السطح:
   بمعرفة مساحة سطح الكرتين PP و RR، نقوم بحساب الفارق بينهما:

   $\text{Difference} = A_{\text{PP}} – A_{\text{RR}}$

   هذا يمثل الإجابة على السؤال حول فارق مساحة سطح الكرة RR عن مساحة سطح الكرة PP.

قوانين الهندسة والرياضيات المستخدمة في هذا الحل تشمل:

• حجم الكرة: يتم حسابه باستخدام النسب المعطاة لتعبير عن حجم الكرات QQ و RR بالنسبة لحجم الكرة PP.
• مساحة سطح الكرة: تعبر عن كمية الفضاء التي تغطيها سطوح الكرة وتحسب باستخدام الصيغة العامة لمساحة سطح الكرة.

هذه القوانين تستند إلى الهندسة الفضائية والرياضيات، وتوضح العلاقات بين حجم الكرات ومساحة سطحها بناءً على النسب المعطاة.