تعبيرات المعادلات والجذور: حلول مبسّطة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما جذور المعادلة $x^2 + px + 1 = 0$، و $\gamma$ و $\delta$ هما جذور المعادلة $x^2 + qx + 1 = 0$، فإننا نريد تعبير التالي بالنسبة للمتغيرات $p$ و $q$:

$(\alpha – \gamma)(\beta – \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$

لحل هذه المسألة، دعنا نستخدم المعرفة المتعلقة بجذور المعادلات. إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما جذور المعادلة $x^2 + px + 1 = 0$، فإن مجموع الجذور هو $-\frac{p}{1} = -p$، ومن ثم:
$\alpha + \beta = -p$
وإذا كانا $\alpha$ و $\beta$ هما جذور المعادلة، فإن حاصل ضربهما يساوي الثابت: $\alpha\beta = 1$.

بنفس الطريقة، يمكننا تحديد مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة الثانية. إذا كانت $\gamma$ و $\delta$ هما جذور المعادلة $x^2 + qx + 1 = 0$، فإن:
$\gamma + \delta = -q$
و
$\gamma\delta = 1$

الآن، دعنا نقوم بتوسيع التعبير الذي نريد حسابه:

$(\alpha – \gamma)(\beta – \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$

نستخدم خاصية التوزيع لضرب العوامل:

$(\alpha – \gamma)(\beta – \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta) = (\alpha\beta – \alpha\delta – \beta\gamma + \gamma\delta)(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\delta + \gamma\delta)$

نقوم بتعويض قيم $\alpha\beta$ و $\gamma\delta$ بما نعرفه عنهما:

$(1 – \alpha\delta – \beta\gamma + 1)(1 + \alpha\gamma + \beta\delta + 1)$

نواجه الآن معادلة تحتوي على أربعة عناصر. سنحاول تبسيطها:

$(2 – (\alpha\delta + \beta\gamma))(2 + (\alpha\gamma + \beta\delta))$

نلاحظ أننا بالفعل قررنا أن مجموع الجذور هو $-p$ و $-q$، ومن هنا يمكننا تبسيط المعادلة إلى:

$2 – ((\alpha + \beta)(\gamma + \delta)))(2 + ((\alpha + \beta)(\gamma + \delta)))$

ونعرف أن $\alpha + \beta = -p$ و $\gamma + \delta = -q$، لذا نستبدل:

$2 – ((-p)(-q))(2 + ((-p)(-q)))$

الآن نقوم بحساب القيمة:

$2 – (pq)(2 + pq)$

$2 – 2pq – p^2q^2$

ومن المعطيات في السؤال، تم تحديد القيمة كـ $2$، لذا نقوم بحل المعادلة التالية لتحديد قيمة $pq$:

$2 = 2 – 2pq – p^2q^2$

ومن هنا نجد أنه يجب أن تكون قيمة $pq$ تساوي $0$.

بالتالي، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $0$.

لحل المسألة التي تطلب تعبير التعبير $(\alpha – \gamma)(\beta – \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ في حالة $\alpha$ و $\beta$ كجذور للمعادلة $x^2 + px + 1 = 0$ و $\gamma$ و $\delta$ كجذور للمعادلة $x^2 + qx + 1 = 0$، سنقوم باستخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في نظرية المعادلات.

1. جذور المعادلات: إذا كانت $ax^2 + bx + c = 0$ معادلة من الدرجة الثانية، فإن مجموع الجذور مساوي لنسبة القيمة المؤداة للمعادلة ($-b/a$)، وحاصل ضرب الجذور مساوي لنسبة الثابت في المعادلة ($c/a$).

2. قوانين الحساب: نستخدم خواص الحساب الأساسية مثل قانون الجمع والضرب.

بناءً على هذه القوانين، نبدأ بتحليل التعبير $(\alpha – \gamma)(\beta – \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$:

• نستخدم قانون التوزيع للضرب لنوسع التعبير.
• نستخدم قانون الجمع والضرب لتبسيط التعبير.
• نستخدم المعطيات المعطاة في السؤال حول قيم جذور المعادلات والمعادلة الناتجة للتعبير.

بمساعدة هذه القوانين والمفاهيم، نقوم بالتلاعب بالتعبير حتى نصل إلى القيمة المطلوبة للتعبير والتي هي معطاة في السؤال.

بالتالي، من خلال التحليل والتلاعب باستخدام القوانين المذكورة، نصل إلى القيمة المطلوبة للمتغيرات في المسألة ونحل التعبير بالشكل المطلوب.