تضاعف الجراد: تحليل نمو هندسي (مسألة رياضيات)

تعداد الجراد في سرب معين يتضاعف كل ساعتين. إذا كان هناك 1000 جراد في السرب قبل 4 ساعات، فبعد كم ساعة تقريبًا سيتجاوز إجمالي تعداد الجراد في السرب 128,000 جراد؟

المسألة:

إذاً، قبل 4 ساعات كانت عدد الجراد 1000 جراد، ونريد أن نعرف بعد كم ساعة سيكون العدد أكبر من 128,000 جراد.

الحل:

للبداية، يتضاعف عدد الجراد كل ساعتين، ولكن الفترة التي نريد حسابها هي بالساعات. لذا نقسم الفترة التي نريد معرفة النتيجة بعد انقضاءها (بالساعات) على فترة التضاعف (كل ساعتين) للحصول على عدد المضاعفات.

فترة التضاعف = 2 ساعة
الفترة التي نريد معرفة النتيجة بعد انقضائها = ب
عدد المضاعفات = ب / 2

الآن، نستخدم الصيغة لحساب العدد بعد الانقضاء:

العدد = العدد الأصلي * (معامل التضاعف)^(عدد المضاعفات)

العدد = 1000 * 2^(ب / 2)

ونعلم أن هذا العدد سيتجاوز 128,000 جراد، لذا:

1000 * 2^(ب / 2) > 128,000

الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة ب:

2^(ب / 2) > 128

نعلم أن 2^7 = 128، لذا:

2^(ب / 2) > 2^7

ب / 2 > 7

ب > 14

إذًا، بعد أكثر من 14 ساعة، سيكون إجمالي عدد الجراد في السرب أكبر من 128,000 جراد.

لحل هذه المسألة، نستخدم قوانين النمو الهندسي ونقوم بتحليل الوضع بعناية. القوانين المستخدمة تتعلق بنمو الأعداد الهندسية والتضاعف الزمني. نتبع الخطوات التالية:

1. تمثيل الوضع:
   دعونا نمثل العدد الأصلي للجراد بـ “P” (1000 جراد) وفترة التضاعف بـ “t” (بعد مرور t ساعة).

2. قانون النمو الهندسي:
   نستخدم قانون النمو الهندسي لتمثيل زيادة العدد بمعامل التضاعف:

   $P(t) = P_0 \cdot 2^{(t / T)}$

   حيث:

   • $P(t)$ هو العدد بعد مرور t وحدة زمنية.
   • $P_0$ هو العدد الأصلي.
   • $T$ هو فترة التضاعف.

3. حساب فترة التضاعف:
   في هذه المسألة، $T$ هي 2 ساعة.

4. وضع المعادلة:
   نستخدم القانون لوضع المعادلة:

   $P(t) = 1000 \cdot 2^{(t / 2)}$

5. حل المعادلة:
   نحتاج لحساب الزمن الذي سيستغرقه العدد لتجاوز 128,000.

   $1000 \cdot 2^{(t / 2)} > 128,000$

6. تبسيط المعادلة:
   نقوم بتبسيط المعادلة للحصول على قيمة $t$.

   $2^{(t / 2)} > 128$

   $2^{(t / 2)} > 2^7$

   $t / 2 > 7$

   $t > 14$

7. الإجابة:
   بعد أكثر من 14 ساعة، سيكون إجمالي عدد الجراد في السرب أكبر من 128,000 جراد.

قد تكون القوانين المستخدمة هي قوانين النمو الهندسي والتحليل اللوغاريتمي. يهمنا فهم كيف يتغير العدد مع مرور الوقت في هذا النوع من المواقف.