تسلسل حسابي يومي نحو 100 دولار

العامل يكسب 20 دولار في اليوم الأول وينفق 15 دولارًا في اليوم الثاني. يكسب العامل 20 دولارًا في اليوم الثالث وينفق 15 دولارًا في اليوم الرابع. إذا استمرت هذه النمط، في أي يوم سيصل العامل إلى مجموع صافي قدره 100 دولار لأول مرة؟

لنقم بتحليل النمط اليومي للعامل. في الأيام الزوجية، يكون العامل قد صافي دخل يبلغ 5 دولارات (20 دولار – 15 دولار)، وفي الأيام الفردية، يكون لديه صافي دخل يبلغ 20 دولار. ببساطة، يمكننا تمثيل النمط على النحو التالي:

$5, 20, 5, 20, 5, 20, \ldots$

نريد حساب عدد الأيام اللازمة للوصول إلى إجمالي صافي قدره 100 دولار. نقوم بتكرار هذا النمط حتى نصل إلى المبلغ المطلوب:

$5 + 20 + 5 + 20 + \ldots + 5 + 20 = 100$

نجمع الأرقام بالتتابع، حيث يمكننا تجميع الأيام الزوجية والفردية بشكل منفصل:

$(5 + 20) + (5 + 20) + \ldots + (5 + 20) = 100$

نرى أنه لدينا تكرار متكرر للمصطلح $5 + 20$، وكل تكرار يساوي 25. لنحسب عدد الأيام المطلوبة للوصول إلى مجموع صافي قدره 100:

$25 \times عدد الأيام = 100$

من هنا، نجد أن عدد الأيام يساوي:

$عدد الأيام = \frac{100}{25} = 4$

إذًا، سيصل العامل إلى مجموع صافي قدره 100 دولار في اليوم الرابع.

في هذه المسألة، يمكننا تحليل النمط اليومي للعامل باستخدام بعض القوانين الرياضية. لنقم بذلك، سنستخدم العمليات الحسابية الأساسية وبعض القوانين الجبرية.

النمط اليومي يمكن تمثيله كتسلسل حسابي حيث يكسب العامل 20 دولار في الأيام الفردية ويكسب 5 دولارات في الأيام الزوجية (20 – 15). لنستخدم $a$ لتمثيل المبلغ الذي يكسبه في الأيام الفردية و $d$ لتمثيل الفارق بين المبلغ الذي يكسبه في الأيام الزوجية والفردية.

$a = 20$
$d = 5$

النمط اليومي يصبح إذًا:

$20, (20 – 15), 20, (20 – 15), \ldots$

نحن نريد حساب المجموع الكلي حتى اليوم الذي يصبح فيه الإجمالي 100 دولار. لنستخدم القاعدة العامة لمجموع التسلسل الحسابي:

$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع العدد الأول $n$ في التسلسل.
• $n$ هو عدد الأيام.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الفارق بين العناصر في التسلسل.

في هذه الحالة، نريد حساب عدد الأيام ($n$) حتى يصبح المجموع ($S_n$) يساوي 100 دولار. لذا، يكون المعادلة كالتالي:

$100 = \frac{n}{2}[2 \times 20 + (n-1) \times 5]$

نقوم بحساب القيمة التي تحقق هذه المعادلة، ونجد أن $n = 4$. إذاً، يوم الرابع سيكون اليوم الذي يصل فيه العامل إلى مجموع صافي قدره 100 دولار.