ترتيب الفائزين ومجموعات الميداليات (مسألة رياضيات)

في مجموعة تتألف من 8 متأهلين إلى الدور نصف النهائي، سيتأهل جميعهم إلى الدور النهائي ما عدا اثنين. في الدور النهائي، سيتم منح الميداليات للثلاث الأوائل فقط. يطرح السؤال: كم عدد مجموعات الفائزين بالميداليات الممكنة؟

حل المسألة:
في الدور النهائي، يمكن للمشتركين الثمانية الذين تأهلوا إلى الدور النهائي أن يحصلوا على المركز الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخامس، السادس، السابع، أو الثامن. ولكن بما أن الجوائز محدودة وتقدم للثلاثة الأوائل فقط، فإن هناك طرقًا محدودة لتوزيع الجوائز.

لنقم بحساب عدد طرق فوز الفائزين بالميداليات:

1. الفائز الأول: 8 اختيارات (أي أحد من الثمانية يمكن أن يفوز).
2. الفائز الثاني: 7 اختيارات (لأن الفائز الأول قد اختير بالفعل).
3. الفائز الثالث: 6 اختيارات (لأن الفائز الثاني قد اختير بالفعل).

إذاً، عدد الطرق الممكنة لاختيار الفائزين الثلاثة الأوائل هو:
$8 \times 7 \times 6 = 336$

إذاً، هناك 336 طريقة ممكنة لاختيار الفائزين بالميداليات من بين الثمانية المتأهلين.

لنقم بحساب العدد الإجمالي لطرق فوز الفائزين بالميداليات في هذه المسألة، يمكننا استخدام مبدأ الاختيار والترتيب. هذا المبدأ يسمح لنا بحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب عناصر معينة.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهومين أساسيين:

1. مبدأ الاختيار والترتيب (Permutation): يُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب عناصر معينة. في هذه المسألة، نريد حساب عدد الطرق الممكنة لترتيب الفائزين الثلاثة.

2. قاعدة الضرب: تُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لتحقيق سلسلة من الأحداث المستقلة. في هذه المسألة، لدينا عدة خطوات مستقلة لاختيار الفائزين الثلاثة.

الآن، لنقم بتفاصيل أكثر لحساب عدد الطرق:

1. اختيار الفائز الأول:

   • لدينا 8 متسابقين يمكن اختيار أي منهم في المركز الأول، لذا هناك 8 طرق للفوز في المركز الأول.

2. اختيار الفائز الثاني:

   • بعدما تم اختيار الفائز الأول، يبقى 7 متسابقين يمكن اختيار أحدهم في المركز الثاني، لذا هناك 7 طرق للفوز في المركز الثاني.

3. اختيار الفائز الثالث:

   • بعدما تم اختيار الفائزين الأول والثاني، يبقى 6 متسابقين يمكن اختيار أحدهم في المركز الثالث، لذا هناك 6 طرق للفوز في المركز الثالث.

الآن، نستخدم قاعدة الضرب لحساب العدد الإجمالي للطرق:
$8 \times 7 \times 6 = 336$

إذاً، هناك 336 طريقة ممكنة لاختيار الفائزين بالميداليات.