تحويل وتحليل معادلات تربيعية: درس متقدم (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا كان المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c$ يمكن تعبيرها في الشكل $2(x – 4)^2 + 8$، فما هو القيمة التي يتغير عندها معامل $h$ عند تعبير المعادلة $3ax^2 + 3bx + 3c$ في الشكل $n(x – h)^2 + k$؟

الحل:

لنحل هذه المسألة، نبدأ بمعرفة قيم المعاملات $a$، $b$، و $c$ من المعادلة الأصلية $ax^2 + bx + c$ ونقارنها مع التعبير المعطى $2(x – 4)^2 + 8$.

من التعبير المعطى، يمكننا مقارنة المعاملات والحصول على العلاقات التالية:
$a = 2, \quad b = -16, \quad c = 24.$

الآن، نريد تعبير المعادلة $3ax^2 + 3bx + 3c$ في الشكل $n(x – h)^2 + k$. للقيام بذلك، نضرب المعادلة الأصلية في 3 للحصول على المعادلة المعدلة:
$3ax^2 + 3bx + 3c = 6(x – 4)^2 + 24.$

وهنا يمكننا مقارنة هذه المعادلة المعدلة مع الشكل المطلوب للحصول على العلاقات التالية:
$n = 6, \quad h = 4, \quad k = 24.$

لذا، القيمة التي يتغير عندها معامل $h$ هي 4.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم العلاقة بين المعادلة الأصلية $ax^2 + bx + c$ والتعبير المعطى $2(x – 4)^2 + 8$. سنستخدم القوانين الرياضية المتعلقة بتحليل وتحويل المعادلات التربيعية. القوانين المستخدمة تشمل:

1. تحليل الشكل الكامل (Completing the Square):
   هذه الطريقة تُستخدم لتحويل المعادلة التربيعية إلى شكل كامل، حيث يتم تعبيرها كمربع كامل.

2. تحليل الأعداد (Factorization):
   نحتاج إلى استخدام قانون تحليل الأعداد لفحص العلاقة بين المعادلتين.

الآن، سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل:

الخطوة 1: تحليل المعادلة الأصلية

المعادلة الأصلية هي $ax^2 + bx + c$. نقوم بتحليل الشكل الكامل باستخدام “تحليل الشكل الكامل” للحصول على تعبير في شكل مربع كامل.

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$

$= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$

$= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) – \frac{b^2}{4a} + c$

$= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2 – 4ac}{4a}$

الخطوة 2: المقارنة مع التعبير المعطى

نقارن المعادلة المحللة مع التعبير المعطى $2(x – 4)^2 + 8$ للحصول على العلاقات بين المعاملات.

$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2 – 4ac}{4a} = 2(x – 4)^2 + 8$

من هنا، نستنتج العلاقات:
$a = 2, \quad \frac{b}{2a} = -4, \quad \frac{b^2 – 4ac}{4a} = -8$

الخطوة 3: حساب قيم المعاملات

من العلاقات، نحسب قيم المعاملات:
$a = 2, \quad b = -16, \quad c = 24$

الخطوة 4: تعبير المعادلة المعدلة

نضرب المعادلة الأصلية في 3 للحصول على المعادلة المعدلة:
$3ax^2 + 3bx + 3c = 6(x + \frac{b}{2a})^2 – \frac{b^2 – 4ac}{2a}$

$= 6(x – 4)^2 + 24$

الخطوة 5: المقارنة مع الشكل المطلوب

نقارن المعادلة المعدلة مع الشكل المطلوب $n(x – h)^2 + k$:
$n = 6, \quad h = 4, \quad k = 24$

إذاً، القيمة التي يتغير عندها معامل $h$ هي 4.