تحويل عدد عشري متكرر إلى كسر (مسألة رياضيات)

عند كتابة العدد العشري المتكرر $0.\overline{36}$ ككسر عادي في أبسط صورته، ما هو مجموع البسط والمقام؟

الحل:

لنقم بتحويل العدد العشري المتكرر $0.\overline{36}$ إلى كسر. لنفترض أن هذا العدد يمثل $x$.

سنقوم بالتالي:
$x = 0.363636…$

نقوم بطرح العدد 10 مرات الأصغر منه لنحصل على عدد بلا أجزاء عشرية متكررة:
$100x = 36.363636…$

الآن نقوم بطرح العددين للتخلص من الأجزاء العشرية المتكررة:
$100x – x = 36.363636… – 0.363636…$
$99x = 36$

الآن نقوم بقسمة كلا الجانبين على 99:
$x = \frac{36}{99}$

والآن نقوم بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على أكبر عامل مشترك لهما وهو 9:
$x = \frac{4}{11}$

إذاً، العدد المتكرر $0.\overline{36}$ يمثل كسرًا عاديًا بقيمة $\frac{4}{11}$.

الآن، نجمع البسط والمقام معًا:
$4 + 11 = 15$

إذاً، مجموع البسط والمقام هو 15.

لحل المسألة وتحويل العدد العشري المتكرر $0.\overline{36}$ إلى كسر عادي في أبسط صورته، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الرياضية والخطوات الأساسية للعمليات الحسابية. هذه هي الخطوات مع بعض التفاصيل الإضافية:

1. تعريف العدد المتكرر: نعرف العدد المتكرر كـ $x = 0.363636…$.

2. تعريف العدد بمعادلة رياضية: نستخدم معادلة لتعريف العدد المتكرر، وهي $x = 0.363636…$.

3. الضرب للتخلص من الأجزاء العشرية المتكررة: نضرب المعادلة بعدد يحوي عدداً كافياً من الأصفار للتخلص من الأجزاء العشرية المتكررة، هنا استخدمنا العدد 100 لتحويل الجزء العشري المتكرر إلى عدد صحيح.

4. طرح الأعداد للحصول على عدد صحيح: نطرح المعادلة المضاعفة من المعادلة الأصلية للحصول على عدد صحيح بدون أجزاء عشرية متكررة.

5. تبسيط الكسر: نقوم بتبسيط الكسر إلى أبسط صورة له.

6. جمع البسط والمقام: بمجرد تحويل العدد المتكرر إلى كسر عادي، نقوم بجمع البسط والمقام للحصول على المجموع النهائي.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

• قانون الضرب: استخدمنا الضرب لتحويل الأعداد العشرية المتكررة إلى أعداد صحيحة.
• قانون الطرح: استخدمنا الطرح للقضاء على الأعداد العشرية المتكررة في المعادلة.
• قانون تبسيط الكسور: نقوم بتبسيط الكسر للحصول على أبسط صورة للكسر.
• قانون جمع الأعداد الصحيحة: نقوم بجمع البسط والمقام للحصول على المجموع النهائي.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نستطيع حل المسألة والوصول إلى الإجابة الصحيحة بدقة ودون أخطاء.