تحويل الإحداثيات الكروية إلى المستطيلة: حل وتفسير (مسألة رياضيات)

المطلوب هو تحويل الإحداثيات الكروية $(\rho, \theta, \phi) = (X, \pi, \frac{\pi}{4})$ إلى الإحداثيات المستطيلة. لحل هذه المسألة، نستخدم العلاقات التي تربط بين الإحداثيات الكروية والإحداثيات المستطيلة.

للبداية، نستخدم العلاقة التي تربط بين الإحداثيات الكروية والإحداثيات المستطيلة كما يلي:

$x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$
$y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$
$z = \rho \cos(\phi)$

حيث $\rho$ هي الشعاع النقطي، $\theta$ هو الزاوية الأفقية، و $\phi$ هو الزاوية الرأسية.

في هذه المسألة، نعطي قيمًا محددة للإحداثيات الكروية، أي $(\rho, \theta, \phi) = (X, \pi, \frac{\pi}{4})$، ونطلب تحويلها إلى الإحداثيات المستطيلة.

نستخدم هذه القيم في العلاقات أعلاه:

$x = X \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\pi)$
$y = X \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(\pi)$
$z = X \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

بتبسيط الفواصل الزاوية، نحصل على:

$x = -X \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = X \frac{\sqrt{2}}{2}$
$z = X \frac{\sqrt{2}}{2}$

إذا كانت الإجابة المعطاة هي $(- \sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$، يجب أن تكون قيمة المتغير المجهول $X$ هي $-\sqrt{2}$.

بالطبع، سنقوم بتفصيل أكثر في حل المسألة وذلك باستخدام القوانين المتعلقة بالتحويل بين الإحداثيات الكروية والإحداثيات المستطيلة.

لحل المسألة، نستخدم العلاقات التالية التي تربط بين الإحداثيات الكروية $(\rho, \theta, \phi)$ والإحداثيات المستطيلة $(x, y, z)$:

$x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$
$y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$
$z = \rho \cos(\phi)$

حيث:

• $\rho$ هي الشعاع النقطي (distance from the origin),
• $\theta$ هو الزاوية الأفقية (azimuthal angle)،
• $\phi$ هو الزاوية الرأسية (polar angle).

في هذه المسألة، نعطى القيم التالية: $(\rho, \theta, \phi) = (X, \pi, \frac{\pi}{4})$. الآن سنقوم بتوضيح الخطوات لحساب الإحداثيات المستطيلة $(x, y, z)$:

1. استخدام العلاقة الأولى:
   $x = X \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\pi)$

2. استخدام العلاقة الثانية:
   $y = X \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(\pi)$

3. استخدام العلاقة الثالثة:
   $z = X \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

الآن نقوم بتبسيط الفواصل وحساب القيم:

1. $x = X \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-1) = -X \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $y = X \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 0 = 0$

3. $z = X \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = X \frac{\sqrt{2}}{2}$

لذا، الإحداثيات المستطيلة $(x, y, z)$ تكون $(-X \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, X \frac{\sqrt{2}}{2})$.

الآن، إذا كانت الإجابة المعطاة هي $(- \sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$. نجد أن القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي $-\sqrt{2}$.

القوانين المستخدمة هي القوانين الأساسية لتحويل الإحداثيات بين الكروية والمستطيلة، وهي مشتقة من هندسة المثلثات والتفاعلات بين الزوايا والأضلاع في المثلثات.