تحويل الإحداثيات القطبية إلى المستطيلة (مسألة رياضيات)

النقطة $(5, \frac{3 \pi}{2})$ في الإحداثيات القطبية يمكن تحويلها إلى الإحداثيات المستطيلة باستخدام العلاقات التالية:

إذا كانت $(r, \theta)$ هي إحداثيات قطبية لنقطة في الفضاء، حيث $r$ هو الشعاع و$\theta$ هو الزاوية، يمكن تحويلها إلى إحداثيات مستطيلة $(x, y)$ باستخدام العلاقات التالية:

$x = r \cdot \cos(\theta)$
$y = r \cdot \sin(\theta)$

للنقطة $(5, \frac{3 \pi}{2})$، يكون الشعاع $r = 5$ والزاوية $\theta = \frac{3 \pi}{2}$.

إذاً، نستخدم العلاقات للحصول على الإحداثيات المستطيلة:

$x = 5 \cdot \cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$

$y = 5 \cdot \sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$

القيمة $\cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$ تكون صفر، و$\sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$ تكون -1، لذا:

$x = 5 \cdot 0 = 0$

$y = 5 \cdot (-1) = -5$

إذاً، الإحداثيات المستطيلة للنقطة $(5, \frac{3 \pi}{2})$ هي $(0, -5)$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر وذلك باستخدام القوانين المستخدمة في تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلة.

القوانين المستخدمة هي قوانين التحويل بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات المستطيلة:

1. لتحويل الإحداثيات القطبية $(r, \theta)$ إلى الإحداثيات المستطيلة $(x, y)$، نستخدم العلاقات التالية:
   $x = r \cdot \cos(\theta)$
   $y = r \cdot \sin(\theta)$

2. في الحالة الخاصة للزاوية $\theta = \frac{3 \pi}{2}$:

   • قيمة $\cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$ تكون صفر.
   • قيمة $\sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$ تكون -1.

الحل:

نعتبر النقطة $(5, \frac{3 \pi}{2})$ في الإحداثيات القطبية. ونقوم بتحويلها إلى الإحداثيات المستطيلة باستخدام العلاقات السابقة.

$x = 5 \cdot \cos\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$
$y = 5 \cdot \sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$

للحسابات:
$x = 5 \cdot 0 = 0$

$y = 5 \cdot (-1) = -5$

إذاً، الإحداثيات المستطيلة للنقطة $(5, \frac{3 \pi}{2})$ هي $(0, -5)$.

يتمثل استخدام القوانين المذكورة في تحويل الإحداثيات القطبية إلى المستطيلة في استخدام الدوال المثلثية مثل الجيب والساين، والتي تعتمد على النسب في المثلثات القائمة. في هذا السياق، استخدمنا القاعدة التي ترتبط بزاوية $\frac{3 \pi}{2}$ للحصول على الإحداثيات المستطيلة.