تحويل إحداثيات مستطيلة إلى قطبية: $(6, 2\sqrt{3})$ (مسألة رياضيات)

المطلوب هو تحويل النقطة $(6,2 \sqrt{3})$ من إحداثياتها المستطيلة إلى إحداثياتها القطبية، حيث يتم التعبير عن النتيجة في الشكل $(r,\theta)$ حيث $r > 0$ و $0 \le \theta < 2 \pi.$

لحساب الإحداثيات القطبية، يتم استخدام العلاقات التالية:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$
$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

حيث $(x, y)$ هي الإحداثيات المستطيلة للنقطة.

لنقوم بحساب قيم $r$ و $\theta$ للنقطة $(6,2 \sqrt{3}).$

أولاً، نستخدم العلاقة الأولى لحساب $r$:

$r = \sqrt{(6)^2 + (2 \sqrt{3})^2}$
$r = \sqrt{36 + 12}$
$r = \sqrt{48}$
$r = 4 \sqrt{3}$

الآن، نستخدم العلاقة الثانية لحساب $\theta$:

$\theta = \arctan\left(\frac{2 \sqrt{3}}{6}\right)$
$\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

لحساب القيمة الزاوية، يمكن استخدام القيمة المعروفة للزاوية $\frac{\pi}{6}$ (30 درجة).

إذاً:

$\theta = \frac{\pi}{6}$

بالتالي، الإحداثيات القطبية للنقطة $(6,2 \sqrt{3})$ هي $(4 \sqrt{3}, \frac{\pi}{6}).$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحويل الإحداثيات المستطيلة $(x, y)$ للنقطة $(6, 2\sqrt{3})$ إلى إحداثيات قطبية $(r, \theta).$ نستخدم في هذا السياق القوانين الأساسية لتحويل الإحداثيات:

1. حساب المسافة (r):
   نستخدم قانون المسافة في الفضاء الثنائي لحساب المسافة من النقطة المستطيلة $(x, y)$ إلى الأصل (النقطة $(0,0)$) باستخدام المعادلة:
   $r = \sqrt{x^2 + y^2}$

   في هذه الحالة:
   $r = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2}$
   $r = \sqrt{36 + 12}$
   $r = \sqrt{48}$
   $r = 4\sqrt{3}$

2. حساب الزاوية (θ):
   نستخدم الدالة العكسية للتمامن ($\arctan$) لحساب الزاوية. العلاقة هي:
   $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

   في هذه الحالة:
   $\theta = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{6}\right)$
   $\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

   هنا، يمكن استخدام قيمة معروفة للزاوية، مثل الزاوية $\frac{\pi}{6}$ (30 درجة).

   $\theta = \frac{\pi}{6}$

لذا، الإحداثيات القطبية للنقطة $(6, 2\sqrt{3})$ هي $(4\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}).$

القوانين المستخدمة هي قوانين أساسية في الهندسة الرياضية والجبر الخطي، وهي تشمل قانون المسافة في الفضاء الثنائي وقانون حساب الزاوية باستخدام الدالة العكسية للتمامن ($\arctan$).