تحويل $1.\overline{27}$ إلى كسر: الحلّ والتفاصيل (مسألة رياضيات)

العدد $1.\overline{27}$ يمكن كتابته على شكل كسر بسيط كما يلي:

لنقم بتعويض $x = 1.\overline{27}$، ثم نقوم بطرح $0.\overline{27}$ من $x$ للحصول على قيمة $x$ بدون الجزء العشري المتكرر.

$x = 1.\overline{27}$
$100x = 127.\overline{27}$

الآن سنقوم بطرح المعادلتين:

$100x – x = 127.\overline{27} – 1.\overline{27}$
$99x = 126$

الآن سنقوم بقسمة الطرفين على 99 للحصول على قيمة $x$:

$x = \frac{126}{99}$

الكسر $\frac{126}{99}$ غير موجود بأبسط صورة له. لذا، سنقوم بتبسيطه عن طريق قسمة البسط والمقام على أكبر قيمة ممكنة للعامل المشترك بينهما، وهو 9 في هذه الحالة.

$x = \frac{126 \div 9}{99 \div 9}$
$x = \frac{14}{11}$

إذاً، $1.\overline{27}$ يساوي $\frac{14}{11}$ في صورته الأبسط.

لحل مسألة تحويل العدد العشري المتكرر $1.\overline{27}$ إلى كسر بسيط، نستخدم القوانين الرياضية التالية:

1. قانون تعويض العدد: نفترض أن العدد المتكرر $1.\overline{27}$ يساوي $x$.
2. قانون الجمع والطرح للأعداد العشرية المتكررة: يمكن طرح أو جمع الأعداد العشرية المتكررة بتطبيق القواعد البسيطة للحساب.
3. قانون الكسر المبسط: نقوم بتبسيط الكسر إلى صورته الأبسط عن طريق قسمة البسط والمقام على عامل مشترك.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

1. نعتبر $x = 1.\overline{27}$.
2. نضرب العدد $x$ في 100 لنتخلص من الكسر العشري المتكرر في الجزء العشري:
   $100x = 127.\overline{27}$
3. الآن، نقوم بطرح $x$ من $100x$ للحصول على القيمة بدون الجزء العشري المتكرر:
   $100x – x = 127.\overline{27} – 1.\overline{27}$
   $99x = 126$
4. نقسم الطرفين على 99 للحصول على قيمة $x$:
   $x = \frac{126}{99}$
5. نقوم بتبسيط الكسر $\frac{126}{99}$ عن طريق قسمة البسط والمقام على أكبر قيمة ممكنة للعامل المشترك بينهما، وهو 9 في هذه الحالة:
   $x = \frac{126 \div 9}{99 \div 9}$
   $x = \frac{14}{11}$

بهذا الشكل، نحصل على الكسر المبسط $\frac{14}{11}$ كصيغة مبسطة للعدد العشري المتكرر $1.\overline{27}$.