تحليل وتحسين تعبير الجبر (مسألة رياضيات)

نرمز إلى الأعداد اللاسالبية $w، x، y، z$ بحيث يكون مجموعها مئة، أي $w + x + y + z = 100$. نريد أن نجد أكبر قيمة ممكنة للتعبير
$wx + xy + yz.$

لنحل هذه المسألة، نستخدم تقنيات الجبر والتفكير الرياضي. لنبدأ بتطوير التعبير الذي نريد تحسينه. نشير إلى أننا نرغب في تحقيق تجميع أقصى قدر من المصفوفات المتداخلة، وذلك عبر تحويل التعبير المعطى إلى صورة مشابهة.

$wx + xy + yz = x(w + y) + y(z + x).$

الآن، نستخدم الشرط المعطى $w + x + y + z = 100$ لنعبر عن إحدى الأعداد بواسطة باقي الأعداد. لنقم بذلك، نلاحظ أن:
$w + x + y + z = (w + y) + (x + z).$

باستخدام هذه الفكرة، يمكننا إعادة صياغة التعبير بشكل آخر:
$x(w + y) + y(z + x) = x(w + y) + y(x + z).$

الآن، نستخدم العبارة التي أعادنا صياغتها لنحصل على التالي:
$x(w + y) + y(x + z) = x(w + y) + y(x + z) + (w + y)(x + z) – (w + y)(x + z).$

الخطوة الأخيرة تتيح لنا إدخال العبارة المطلوبة، لكن بشكل يمكننا من استخدام تقنيات الجبر لتحسينها.

$x(w + y) + y(x + z) + (w + y)(x + z) – (w + y)(x + z) = (w + y)(x + z) + x(w + y) + y(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

نلاحظ أن الجزء الأول $(w + y)(x + z)$ يمثل مجموع الأعداد $w + y$ و $x + z$. يمكننا استخدام هذا لتبسيط التعبير.

$(w + y)(x + z) + x(w + y) + y(x + z) – 2(w + y)(x + z) = (w + y + x)(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

الآن، نستخدم الشرط المعطى $w + x + y + z = 100$ لتبسيطها أكثر.

$(w + y + x)(x + z) – 2(w + y)(x + z) = 100(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

هذه العبارة هي الناتج المطلوب، والخطوات السابقة توضح كيف وصلنا إليها باستخدام تقنيات الجبر وتحليل العبارات. لدينا الآن الناتج بشكل طبيعي، وهو:
$100(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

الخطوة الأخيرة هي تحديد قيم الأعداد $w، x، y، z$ لتحقيق أقصى قيمة للتعبير. يتبع ذلك ببساطة من استنتاج العلاقات بين هذه الأعداد باستخدام الشرط المعطى. يمكننا أن نستنتج أن القيم التي تحقق أقصى قيمة هي $w = z = 0$ و $x = y = 50$.

وبالتالي، القيمة القصوى للتعبير هي:
$100(x + z) – 2(w + y)(x + z) = 100(50 + 0) – 2(0 + 50)(50 + 0) = 5000.$

إذاً، القيمة القصوى للتعبير هي 5000.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل التعبير $wx + xy + yz$ باستخدام الجبر ونستفيد من الشروط المعطاة. سنقوم بتبسيط التعبير بشكل يسمح لنا بتحقيق أقصى قيمة.

لنبدأ بالتحليل:

$wx + xy + yz.$

نستخدم قانون الجمع المشترك لجمع العناصر المتشابهة:

$wx + xy + yz = x(w + y) + y(z + x).$

الآن، نستخدم الشرط المعطى $w + x + y + z = 100$ لتعبير إحدى الأعداد بواسطة الأعداد الأخرى:

$w + x + y + z = (w + y) + (x + z).$

نقوم بتطوير التعبير بمراعاة هذا:

$x(w + y) + y(x + z) = x(w + y) + y(x + z) + (w + y)(x + z) – (w + y)(x + z).$

الآن، نحاول جلب العبارة المطلوبة:

$x(w + y) + y(x + z) + (w + y)(x + z) – (w + y)(x + z) = (w + y)(x + z) + x(w + y) + y(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

نستخدم الشرط المعطى مرة أخرى:

$(w + y)(x + z) + x(w + y) + y(x + z) – 2(w + y)(x + z) = (w + y + x)(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

وباستخدام الشرط مرة أخرى:

$(w + y + x)(x + z) – 2(w + y)(x + z) = 100(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

هذه العبارة هي الناتج المطلوب. الآن، نحن نتعاون مع التعبير بشكل يمكننا من تحسينه:

$100(x + z) – 2(w + y)(x + z).$

الخطوة الأخيرة هي تحديد القيم التي تحقق أقصى قيمة. للقيام بذلك، نستفيد من الشرط المعطى ونجد أن القيم التي تحقق أقصى قيمة هي $w = z = 0$ و $x = y = 50$.

لذا، القيمة القصوى للتعبير هي:

$100(x + z) – 2(w + y)(x + z) = 100(50 + 0) – 2(0 + 50)(50 + 0) = 5000.$

الآن، دعونا نستعرض القوانين التي تم استخدامها في هذا الحل:

1. قانون الجمع المشترك: استخدامه لجمع العناصر المتشابهة في التعبير.

2. استخدام الشرط المعطى: لتعبير إحدى الأعداد بواسطة الأعداد الأخرى.

3. الجمع والضرب في التعبيرات الجبرية: لتطوير التعبير بمراعاة الشروط المعطاة.

4. التحويل إلى صورة مشابهة: لتسهيل عملية التحليل وتحسين التعبير.

5. تحديد القيم: باستخدام الشروط المعطاة لتحديد القيم التي تحقق أقصى قيمة.

باستخدام هذه القوانين، تم تحليل وتحسين التعبير بشكل يسمح لنا بالوصول إلى القيمة القصوى.