تحليل نطاق الدالة الرياضية G(x) (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $G(x) = |x+1| – |x-1|$، ونحن نريد حساب نطاق هذه الدالة. لحساب النطاق، نبدأ بتحليل سلوك الدالة في الفاصل بين القيم المختلفة لـ $x$ ونتعامل مع كل قسم بشكل منفصل.

عندما يكون $x < -1$، نرى أن المعادلة تصبح:

$G(x) = -(x+1) – -(x-1)$

بإزالة القوسين وتبسيط المعادلة، نحصل على:

$G(x) = -x – 1 + x – 1$

وهذا يؤدي إلى:

$G(x) = -2$

لذلك، عند $x < -1$، قيمة الدالة ثابتة وتساوي -2.

عندما يكون $-1 < x < 1$، نرى أن المعادلة تصبح:

$G(x) = (x+1) – -(x-1)$

بتبسيط المعادلة، نحصل على:

$G(x) = x + 1 + x – 1$

وهذا يؤدي إلى:

$G(x) = 2x$

لذلك، عند $-1 < x < 1$، قيمة الدالة تتغير بشكل خطي مع معامل 2.

أخيرًا، عندما يكون $x > 1$، نرى أن المعادلة تصبح:

$G(x) = (x+1) – (x-1)$

وبتبسيط المعادلة، نحصل على:

$G(x) = 2$

لذلك، عند $x > 1$، قيمة الدالة ثابتة وتساوي 2.

النطاق الكامل للدالة هو الجمع بين النطاقات الثلاثة المحسوبة. بما أن قيمة الدالة هي -2 عند $x < -1$، وهي 2 عند $x > 1$، وتتغير بشكل خطي بمعامل 2 عند $-1 < x < 1$، يمكننا التعبير عن النطاق بشكل متكامل باستخدام رموز الفاصلة والتكامل. إذاً، يمكن تعبير النطاق كالتالي:

$G(x) = \{ -2 \} \cup \{ 2 \} \cup (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$

لحل مسألة حساب نطاق الدالة $G(x) = |x+1| – |x-1|$، نحتاج إلى فحص السلوك المحتمل للدالة في المناطق حول النقاط الحاسمة، وهي $x = -1$ و $x = 1$، حيث تتغير القيم المطلقة.

في المنطقة التي يكون $x < -1$، نستخدم قاعدة أن $|a| = -a$ عندما يكون $a$ سالبًا. لذا، نقوم بتعويض $x+1$ و $-(x-1)$ بقيمهما السالبة، ونقوم بتبسيط المعادلة:

$G(x) = -(x+1) – -(x-1) = -x – 1 + x – 1 = -2$

لذا، في هذا النطاق، قيمة الدالة هي -2.

في المنطقة التي يكون $-1 < x < 1$، نستخدم قاعدة أن $|a| = a$ عندما يكون $a$ موجبًا. لذا، نقوم بتعويض $x+1$ و $-(x-1)$ بقيمهما الموجبة، ونقوم بتبسيط المعادلة:

$G(x) = (x+1) – -(x-1) = x + 1 + x – 1 = 2x$

لذا، في هذا النطاق، قيمة الدالة تعبر عن خطيّة بمعامل 2.

في المنطقة التي يكون $x > 1$، نستخدم قاعدة أن $|a| = a$ عندما يكون $a$ موجبًا. لذا، نقوم بتعويض $x+1$ و $x-1$ بقيمهما الموجبة، ونقوم بتبسيط المعادلة:

$G(x) = (x+1) – (x-1) = 2$

لذا، في هذا النطاق، قيمة الدالة هي 2.

القوانين المستخدمة:

1. $|a| = -a$ عندما يكون $a$ سالبًا.
2. $|a| = a$ عندما يكون $a$ موجبًا.

التحليل أعلاه يستند إلى فهم قوانين القيم المطلقة وكيفية تأثيرها على الدالة في المناطق المختلفة.