تحليل مصفوفة وتطبيقات قاعدة السلسلة (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة تحليل الدالة التمثيلية للمصفوفة $\mathbf{A}$ تساوي 5، فما هو تحليل المصفوفة $\mathbf{A^3}$؟

المسألة:
إذا كانت $\det \mathbf{A} = 5$، فما هي قيمة تحليل المصفوفة $\mathbf{A^3}$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم ما هو تحليل المصفوفة (المعروف أيضاً بالمطلقة المؤثرة). تحليل المصفوفة هو مضاعفة القيم الخاصة للمصفوفة. إذا كانت $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ هي القيم الخاصة للمصفوفة $\mathbf{A}$، فإن تحليل المصفوفة يُحسب كالتالي:

الآن، نعلم أننا نريد حساب تحليل المصفوفة $\mathbf{A^3}$، وهنا يأتي دور قاعدة السلسلة للتحليل، حيث أن تحليل المصفوفة المرفوعة للقوة يُحسب بربط تحليل المصفوفة نفسها إلى هذه القوة. بمعنى آخر:

ونعلم من السؤال أن $\det \mathbf{A} = 5$، لذا:

إذاً، قيمة تحليل المصفوفة $\mathbf{A^3}$ هي 125.

بالطبع، سنقوم بتوضيح المزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين الخاصة بحسابات تحليل المصفوفات. لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين التالية:

1. تحليل المصفوفة (Determinant): إذا كانت $\mathbf{A}$ مصفوفة ذات تحليل، يُرمز إلى تحليلها بـ $\det \mathbf{A}$. تُحسب قيمة تحليل المصفوفة كضرب قيم القيم الخاصة للمصفوفة.

   $$\det \mathbf{A} = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \ldots \cdot \lambda_n$$

   حيث $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ هي قيم القيم الخاصة للمصفوفة.

2. قاعدة السلسلة لتحليل المصفوفات: للمصفوفة $\mathbf{A}$، تحسب تحليل المصفوفة المرفوعة للقوة $k$ بربط تحليل المصفوفة نفسها إلى هذه القوة.

   $$\det (\mathbf{A^k}) = (\det \mathbf{A})^k$$

تفاصيل الحل:
نعلم من السؤال أن $\det \mathbf{A} = 5$، ونريد حساب $\det (\mathbf{A^3})$، وفقًا لقاعدة السلسلة، يمكننا ربط تحليل المصفوفة المرفوعة للقوة 3 بتحليل المصفوفة نفسها:

وببساطة نستبدل قيمة $\det \mathbf{A}$ بقيمتها المعطاة في السؤال:

لذا، قيمة تحليل المصفوفة $\mathbf{A^3}$ هي 125.