المسألة الرياضية هي:
إذا كانت الإجابة معروفة وتساوي 1، فما هو قيمة المتغير المجهول X؟
الحل:
لنقم بتحليل المسألة. نعلم أن حين يكون عددًا صحيحًا إيجابيًا، يكون مساويًا لواحد، بينما حين يكون عددًا صحيحًا إيجابيًا، يكون مساويًا للناتج -1.
لذا، يمكننا كتابة المسألة بشكل أكثر تبسيطًا:
نرى أن هناك نمطًا تكراريًا في الجمع، حيث يتكرر الجمع بين 1 و -1. عدد الأعداد المتكررة هو العدد X المطلوب. لكن هنا، نجد أن الناتج الإجمالي هو 1. إذاً:
وبما أن الناتج معروف ويساوي 1، يمكننا القول أن قيمة المتغير المجهول X هي 20 (عدد الأعداد في المجموع).
المزيد من المعلومات
لنقم بتحليل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.
المسألة هي:
أولاً، لنقم بتبسيط قيمة حين يكون عددًا صحيحًا. نعلم أنها تتبع نمطًا تكراريًا:
1 & \text{إذا كان } n \text{ زوجيًا} \\
-1 & \text{إذا كان } n \text{ فرديًا}
\end{cases}\] باستخدام هذا القاعدة، يمكننا تبسيط المعادلة الأصلية:
\[(-1)^{-10} + (-1)^{-9} + (-1)^{-8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] \[= \frac{1}{(-1)^{10}} + \frac{1}{(-1)^9} + \frac{1}{(-1)^8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] الآن، لنقم بتجميع الكسور. نعلم أن \( (-1)^{10} = 1 \) و \( (-1)^9 = -1 \)، لذا يصبح المعادلة:
\[= \frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] الآن نلاحظ أن الكسور تتبع نمطًا تكراريًا أيضًا:
\[= 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] وباستخدام قاعدة تكرارية أخرى، نعلم أن مجموع الأعداد المتكررة يعتمد على عددها. إذاً، يمكننا كتابة:
\[1 – 1 + 1 – 1 + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10} = 1\] لذا، قيمة المتغير المجهول X، وهو عدد الأعداد المتكررة، هي 20.
القوانين المستخدمة:
1. \( (-1)^n \) حين يكون \( n \) عددًا صحيحًا.
2. الجمع والطرح للأعداد الصحيحة.
3. قاعدة تكرارية لقيم \( (-1)^n \).
4. معرفة قيم \( (-1)^{10} \) و \( (-1)^9 \).
-1 & \text{إذا كان } n \text{ فرديًا}
\end{cases}\] باستخدام هذا القاعدة، يمكننا تبسيط المعادلة الأصلية:
\[(-1)^{-10} + (-1)^{-9} + (-1)^{-8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] \[= \frac{1}{(-1)^{10}} + \frac{1}{(-1)^9} + \frac{1}{(-1)^8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] الآن، لنقم بتجميع الكسور. نعلم أن \( (-1)^{10} = 1 \) و \( (-1)^9 = -1 \)، لذا يصبح المعادلة:
\[= \frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] الآن نلاحظ أن الكسور تتبع نمطًا تكراريًا أيضًا:
\[= 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}\] وباستخدام قاعدة تكرارية أخرى، نعلم أن مجموع الأعداد المتكررة يعتمد على عددها. إذاً، يمكننا كتابة:
\[1 – 1 + 1 – 1 + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10} = 1\] لذا، قيمة المتغير المجهول X، وهو عدد الأعداد المتكررة، هي 20.
القوانين المستخدمة:
1. \( (-1)^n \) حين يكون \( n \) عددًا صحيحًا.
2. الجمع والطرح للأعداد الصحيحة.
3. قاعدة تكرارية لقيم \( (-1)^n \).
4. معرفة قيم \( (-1)^{10} \) و \( (-1)^9 \).