تحليل عوامل الأعداد الأولية: مسألة القسمة على 30 (مسألة رياضيات)

إذا كانت $n$ عدد صحيح إيجابي أقل من 200، وقيمة $\frac{14n}{60}$ عدد صحيح، فكم هو عدد الأعداد الأولية الموجبة المختلفة التي تظهر في تحليل عامل $n$؟

الحل:
نبدأ بتبسيط التعبير $\frac{14n}{60}$، حيث يمكننا تقسيم كل من البسط والمقام على 2:

الآن نرى أن الكسر $\frac{7n}{30}$ هو عدد صحيح. لكي يكون الكسر هو عدد صحيح، يجب أن يكون المقام (30) يقسم البسط (7n) بدقة. لذا، يجب أن يكون $n$ قابلًا للقسمة على 30.

الآن، نفك تحليل عامل $30$ إلى عوامله الأولية:

لنحسب عدد الطرق التي يمكن بها أن يكون $n$ قابلًا للقسمة على $30$، فنحتاج إلى معرفة عدد الأعداد الأولية المختلفة في تحليل عوامل $30$. في هذه الحالة، هناك ثلاثة عوامل رئيسية هي $2$ و $3$ و $5$.

لنحسب الأعداد المختلفة لعوامل $n$، يمكننا تجميع هذه العوامل معًا بأي طريقة ممكنة. لذا، نحصل على الأعداد التالية:

هنا، تمثل الأسهم الأعداد الأولية $2$ و $3$ و $5$ على التوالي.

لذا، هناك $2^3 = 8$ طرق مختلفة لتشكيل عوامل $n$ بحيث يكون قابلاً للقسمة على $30$.

لنقم بتحليل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونستخدم القوانين الأساسية للأعداد الصحيحة والأعداد الأولية.

القوانين المستخدمة:

1. تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية: يعني هذا فحص كيفية تفكيك العدد إلى الأعداد الأولية التي تتكرر في تحليله.
2. خاصية التقسيم: إذا كان عددٌ صحيحًا يقسم بدقة عددًا آخر، فإن القسمة ستكون بلا باقي.

المسألة:
نريد أن نجد كم عدد صحيح $n$ أقل من 200 حيث $\frac{14n}{60}$ هو عدد صحيح.

خطوات الحل:

1. نبدأ بتبسيط التعبير $\frac{14n}{60}$ عن طريق قسمة البسط والمقام على 2، لنحصل على $\frac{7n}{30}$.

2. الآن نحتاج إلى التأكد من أن $\frac{7n}{30}$ هو عدد صحيح. يعني ذلك أن $n$ يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 30 بدقة.

3. نقوم بتحليل عوامل 30 إلى عواملها الأولية:
   $30 = 2 \times 3 \times 5$

4. الآن نحتاج إلى حساب عدد الطرق الممكنة لتشكيل $n$ باستخدام هذه العوامل. يمكن تشكيل $n$ باستخدام أي تركيب من هذه العوامل.

   الأعداد الممكنة:

   • $2^0 \times 3^0 \times 5^0$
   • $2^1 \times 3^0 \times 5^0$
   • $2^0 \times 3^1 \times 5^0$
   • $2^0 \times 3^0 \times 5^1$
   • $2^1 \times 3^1 \times 5^0$
   • $2^1 \times 3^0 \times 5^1$
   • $2^0 \times 3^1 \times 5^1$
   • $2^1 \times 3^1 \times 5^1$

5. هنا هي جميع الطرق الممكنة لتشكيل $n$ بحيث يكون قابلاً للقسمة على 30. يوجد 8 طرق.

لذا، الإجابة هي أن هناك 8 أعداد صحيحة إيجابية مختلفة لـ $n$ تحقق الشرط المطلوب.