المطلوب هو معرفة الأساس (base) الذي يتمثل فيه العدد $555_{10}$ بأربعة أرقام من النوع ABAB، حيث تمثل A و B أرقامًا متمايزة.
لنقم بتمثيل العدد $555_{10}$ في النظام العشري (base-10)، حيث يكون كالتالي:
$555_{10} = 5 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
الآن، سنحاول تمثيل هذا العدد بأربعة أرقام ABAB في نظام العد الثنائي (base-2)، وذلك بحيث يكون A و B رقمين متمايزين.
للوصول إلى الحل، سنقوم بتمثيل العدد 555 في النظام الثنائي:
$555_{10} = 2^9 + 2^8 + 2^6 + 2^5 + 2^2 + 2^1 + 2^0$
ونرى أن العدد 555 يمكن تمثيله كالتالي في النظام الثنائي:
$555_{10} = 1 \times 2^9 + 1 \times 2^8 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
وبالتالي، يتم تمثيل 555 في النظام الثنائي كالتالي: $1000101011_2$
لكي يتم تمثيل هذا العدد بأربعة أرقام من النوع ABAB، يجب أن يكون لدينا رقمان يمثلان A و B بحيث تكون ABAB. إذا كان A يمثل 1 و B يمثل 0، فإن التمثيل سيكون كالتالي:
$ABAB = 1010_2$
الآن يمكننا ملاحظة أن العدد المعطى $555_{10}$ لا يمكن تمثيله بشكل ABAB في النظام الثنائي لأنه يحتوي على أعداد فردية (odd) لا تتوافق مع ABAB، حيث يحتاج العدد الأول والثالث في النظام الثنائي إلى أن يكونا متساويين والعدد الثاني والرابع أيضاً يجب أن يكونا متساويين. لذلك، لا يوجد أي نظام عددي يتمثل فيه العدد $555_{10}$ بأربعة أرقام من النوع ABAB.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، نحتاج إلى فهم الأساسين الذين يتمثلان فيهما العدد 555، وهما النظام العشري والنظام الثنائي. ثم نقوم بتحويل العدد 555 من النظام العشري إلى النظام الثنائي.
لتحويل العدد من النظام العشري إلى النظام الثنائي، نستخدم قاعدة تحويل تقوم بتقسيم العدد على 2 وتسجيل الباقي، ثم نقوم بتقسيم الناتج على 2 مرة أخرى ونسجل الباقي، وهكذا حتى نحصل على قيمة صفر. بعد ذلك، نقوم بقراءة الأرقام المسجلة بالعكس للحصول على التمثيل الثنائي للعدد.
في حلنا، لم نحتاج فقط إلى تحويل العدد من النظام العشري إلى النظام الثنائي، بل كان علينا أيضًا التأكد مما إذا كان يمكن تمثيل هذا العدد بأربعة أرقام من النوع ABAB في النظام الثنائي.
قانون يمكن استخدامه في هذا الحل هو قانون تحويل الأعداد من النظام العشري إلى النظام الثنائي، والذي يقوم بتقسيم العدد على 2 وتسجيل الباقي كرقم ثنائي، ثم تكرار العملية حتى الوصول إلى صفر.
بعد ذلك، نستخدم القانون الذي ينص على أن أعداد النظام الثنائي يمكن أن تكون فقط 0 أو 1، ولا يمكن أن تتجاوز هذه القيم، وهذا يحدد القيم الممكنة للأرقام A و B في تمثيل ABAB في النظام الثنائي.
بالاعتماد على هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع التوصل إلى النتيجة التي تشير إلى أنه لا يمكن تمثيل العدد 555 بأربعة أرقام من النوع ABAB في النظام الثنائي.