تحليل رياضي: قيمة ممكنة لتعبير الجمع والضرب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لنكن $a$ و $b$ و $c$ أعدادًا حقيقية، حيث $a + b + c = X$، نحدد مجموعة القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$.

الحل:
لنبدأ بتوسيع التعبير المعطى:

الآن، بما أننا نعلم أن مجموعة القيم الممكنة لهذا التعبير هي $(-\infty, 0]$، فلنقم بتحليلها.

لدينا $aX – a^2 + bc \leq 0$، ونعلم أيضاً أن $a + b + c = X$، لذا يمكننا استبدال $X$ بـ $a + b + c$:
$a(a + b + c) – a^2 + bc \leq 0.$

بعد تبسيط التعبير، نحصل على:
$ab + ac + bc – a^2 \leq 0.$

الآن، لنرتب هذا التعبير بشكل يمكننا من استنتاج مجموعة القيم:
$ab + ac + bc \leq a^2.$

هذا يعني أن $ab + ac + bc$ لا يتجاوز $a^2$، وبما أن هذا ينطبق لأي $a$ حقيقي، فإن مجموعة القيم الممكنة هي $(-\infty, 0]$.

لكننا نعلم أن $a + b + c = X$، لذا يمكننا أن نستنتج أن قيمة المتغير $X$ تكون:
$X = a + b + c.$

لنحل المسألة الرياضية المعطاة، نبدأ بالتحليل التفصيلي للتعبير $ab + ac + bc$ باستخدام الشروط المعطاة.

المسألة الرياضية:
لنكن $a,$ $b,$ $c$ أعدادًا حقيقية، حيث $a + b + c = X$. يطلب منا العثور على مجموعة القيم الممكنة للتعبير $ab + ac + bc$.

الحل:
لنبدأ بتوسيع التعبير المعطى:
$ab + ac + bc = a(b + c) + bc.$

ثم قمنا بتطبيق الشرط الأول الذي يُعطينا $a + b + c = X$، لنحصل على:
$a(X – a) + bc.$

ومن ثم، قمنا بتبسيط التعبير لنحصل على:
$aX – a^2 + bc.$

الآن، بالنظر إلى مجموعة القيم المعطاة $(-\infty, 0]$، بدأنا بتحليل هذه المجموعة للتعبير:
$ab + ac + bc \leq a^2.$

ومن هنا نلاحظ أن $ab + ac + bc$ لا يتجاوز $a^2$، مما يعني أنه يجب أن يكون أقل أو يساوي $a^2$.

القوانين المستخدمة:

1. التوسيع الجبري: استخدمنا توسيعًا جبريًا للتعبير $ab + ac + bc$ للحصول على مصطلحات إضافية وتبسيط العبارات.

2. التبديل باستخدام الشروط: استخدمنا الشرط المعطى $a + b + c = X$ لتبديل $a + b + c$ بـ $X$ في التعبير.

3. التبسيط الجبري: قمنا بتبسيط التعبير إلى شكل يسهل التحليل والفهم.

4. التحليل الرياضي: استخدمنا مهارات التحليل لفهم العلاقات بين المتغيرات والتعبيرات.

5. استخدام القيود المعطاة: استخدمنا القيم المعطاة في المسألة، مثل $(-\infty, 0]$، لتحديد نطاقات المتغيرات.

في النهاية، نستنتج أن قيمة المتغير $X$ يمكن أن تكون أي قيمة حقيقية، حيث يكون التعبير $ab + ac + bc$ في نطاق $(-\infty, 0]$.