تحليل رياضي: شروط الأرقام الزوجية

إذا كانت $p$ عدد صحيح موجب زوجي ولديه النهاية الوحدية موجبة، وإذا كانت نهاية الوحدات لـ $p^3$ تختلف عن نهاية الوحدات لـ $p^2$ ويكون الفرق بينهما يساوي 0، فإننا نسأل عن نهاية الوحدات للعدد $p + 4$.

للحل:

نبدأ بفحص الأعداد الزوجية مع الأنهية الوحدية الإيجابية. لنفترض أن $p$ هو عدد زوجي موجب وينتهي بالرقم $x$. إذا كان $p$ زوجي، فإن $p^2$ سيكون زوجي أيضاً. ونلاحظ أن نهاية الوحدات للعدد الزوجي دائمًا تكون 0، 2، 4، 6، أو 8.

الآن نحسب $p^3$، وهو العدد الناتج عن ضرب $p^2$ في $p$. نهاية الوحدات لـ $p^3$ ستكون نفس نهاية $p$، لأن ضرب أي عدد في 0، 2، 4، 6، أو 8 يعطي نهاية وحدات نفسه.

إذا كانت نهاية الوحدات لـ $p^3$ تختلف عن نهاية $p^2$، فإن الفرق بينهما لن يكون 0. ولكن السؤال يشير إلى أن هذا الفرق يساوي 0. لذا، يجب أن تكون نهاية الوحدات لـ $p^2$ و $p^3$ هما نفسهما.

لنفترض أن $p$ ينتهي بالرقم $x$، إذاً $p^2$ سينتهي أيضا بالرقم $x$، وبالتالي $p^3$ سينتهي بنفس الرقم $x$. وهذا يتعارض مع الشرط المعطى في السؤال الذي يفيد أن الفرق بين نهاية $p^3$ و $p^2$ يجب أن يكون 0.

لذلك، الفرضية التي قمنا بها لا تتوافق مع شروط السؤال. ولذلك، لا يوجد عدد صحيح زوجي يحقق هذا الشرط.

سأقدم توضيحاً إضافياً لحل المسألة وسأستخدم بعض القوانين الرياضية المهمة في هذا السياق.

لنحل المسألة، نبدأ بتحليل الأرقام ونستخدم بعض القوانين:

1. نهاية الوحدات للأرقام الزوجية:
   إذا كانت $p$ عدداً زوجياً، فإنه ينتهي بأحد الأرقام: 0، 2، 4، 6، 8.

2. قاعدة الأسين الوحيد:
   إذا كان لدينا $p^3$، فإن نهاية الوحدات لها تكون نفس نهاية الوحدات لـ $p$. وهذا لأننا نقوم بضرب $p^2$ في $p$، ونحيد فقط نهاية الوحدات.

3. الشرط المعطى في المسألة:
   نعلم أن نهاية الوحدات لـ $p^3$ نفسها نهاية الوحدات لـ $p^2$، والفرق بينهما هو 0.

بناءً على هذه القوانين، دعونا نتحقق من الأمثلة:

• إذا كان $p$ ينتهي بصفر، فإن $p^2$ سينتهي أيضاً بصفر. ولكن نلاحظ أن $p^3$ سينتهي بصفر أيضاً، وليس هناك فرق بين نهايات الوحدات.

• إذا كان $p$ ينتهي برقم آخر غير الصفر، فإن نهاية الوحدات لـ $p^2$ ستكون نفس الرقم، ونهاية الوحدات لـ $p^3$ ستكون أيضاً نفس الرقم، وهذا لا يتناسب مع الشرط المطلوب في المسألة.

بناءً على هذا التحليل، نستنتج أنه لا يمكن أن يكون $p$ عدداً زوجياً يحقق الشرط المعطى في المسألة. وبالتالي، لا يوجد حلاً للمسألة بالأعداد الزوجية.