تحليل ربح مزيج الفودكا بنسبة متساوية (مسألة رياضيات)

نمزج نوعين من الفودكا في نسبة 1:2 و2:1 على التوالي ويتم بيعهما بربح 10% لكل منهما. إذا تم مزج الفودكا بنسبة متساوية وزيادة نسبة الربح الفردي لكل نوع بمقدار 4/3 و 5/3 على التوالي، فما هو الربح الإجمالي للمزيج النهائي؟

لنمثل كميات الفودكا بـ $x$ و $y$ حيث $x$ هو كمية النوع الأول و $y$ هو كمية النوع الثاني. النسبة بينهما 1:2 تعني أن $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$، والنسبة الثانية 2:1 تعني $\frac{x}{y} = \frac{2}{1}$.

الربح الإجمالي يحسب بالنسبة المئوية، لذا إذا كان لدينا ربح 10% على الفودكا الأولى، يكون السعر النهائي $1.1x$، وعلى الفودكا الثانية يكون $1.1y$.

المسألة تصبح:

حل المعادلات يفيد أن $x = 2$ و $y = 1$، وبالتالي نحن الآن نملك 2 وحدة من الفودكا الأولى وواحدة من الفودكا الثانية.

الآن نزيد نسبة الربح لكل نوع بمقدار 4/3 و 5/3 على التوالي، لذا يصبح الربح لكل نوع:

الآن نقوم بخلطهما بنسبة متساوية، لذا الربح الإجمالي يكون:

لذا، المزيج النهائي سيحقق ربحًا بنسبة 1.5889 أو 58.89%.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى مراعاة النسب بين كميات الفودكا والربح النهائي. سنستخدم قانون النسب وقانون الربح للوصول إلى الإجابة.

أولًا، لنستخدم قانون النسب لتحديد كميات الفودكا. إذا كانت النسبة بين كميات الفودكا الأولى والثانية هي 1:2، فنكتب:

$\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$

وإذا كانت النسبة بينهما 2:1، فنكتب:

$\frac{x}{y} = \frac{2}{1}$

حيث $x$ هو كمية الفودكا الأولى و $y$ هو كمية الفودكا الثانية.

الآن، بما أننا نعلم أن الربح النهائي يحسب بالنسبة المئوية، سنستخدم قانون الربح. إذا كان الربح على الفودكا الأولى هو 10%، فإن سعر البيع يكون $1.1x$، ونفس الشيء للفودكا الثانية $1.1y$.

الآن نحن نملك نظامين من المعادلات لحلهما:

$\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad 1.1x : 1.1y = 1:2$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{1} \quad \text{و} \quad 1.1x : 1.1y = 2:1$

بحل هذين النظامين، نجد أن $x = 2$ و $y = 1$، وهو يعكس أن لدينا 2 وحدة من الفودكا الأولى وواحدة من الفودكا الثانية.

الخطوة الثانية هي زيادة نسبة الربح لكل نوع بمقدار 4/3 و 5/3. هذا يتم عبر ضرب الربح الأصلي في هذه النسب:

$\text{الفودكا الأولى:} \quad 1.1 \times \frac{4}{3} = 1.4667$
$\text{الفودكا الثانية:} \quad 1.1 \times \frac{5}{3} = 1.8333$

الخطوة النهائية هي حساب الربح الإجمالي للمزيج النهائي. نجمع الربح المعدل لكل نوع ونقسمه على مجموع النسبة في الخليط:

$\text{الربح الإجمالي} = \frac{2 \times 1.4667 + 1 \times 1.8333}{3} = 1.5889$

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون النسب لتحديد كميات الفودكا.
2. قانون الربح لحساب السعر النهائي بناءً على نسبة الربح الأصلية.
3. قانون الربح لتحديد الربح بعد زيادة نسبة الربح.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة بدقة وتوضيح كل خطوة في العملية.