تحليل دالة رياضية باستخدام تقريب السقف والأرضية (مسألة رياضيات)

لنعيش تفاصيل هذه المسألة الرياضية، نتناول الدالة $f(x)$ المعرفة كما يلي:

حيث $f(x)$ غير معرفة عند $x = -2$. الهدف من المسألة هو تحديد مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها $f(x)$ لمجموعة معينة من الأرقام $x$.

لنقم بفحص الحالتين الممكنتين:

1. عندما $x > -2$: في هذه الحالة، نستخدم الدالة السقفية $\lceil \cdot \rceil$. السقف يقوم بتقريب العدد إلى أقرب عدد صحيح أكبر أو يساويه. لذا، نقوم بحساب $\dfrac{1}{x+2}$ ونقوم بتقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح أكبر أو يساويه.

2. عندما $x < -2$: في هذه الحالة، نستخدم الدالة الأرضية $\lfloor \cdot \rfloor$. الأرضية تقوم بتقريب العدد إلى أقرب عدد صحيح أصغر أو يساويه. لذا، نقوم بحساب $\dfrac{1}{x+2}$ ونقوم بتقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح أصغر أو يساويه.

الآن، لنحدد أي عدد صحيح قد لا يكون في نطاق $f(x)$. قد يحدث ذلك إذا كان لدينا اختلاف بين القيمة المحسوبة باستخدام السقف والأرضية عندما نكون في المرتبة السفلى من فاصلة $-2$. يعني عندما $-2 < x < -1$.

لنحسب القيم في هذا الفاصل:

عند $x = -1.5$: نقوم بحساب $\dfrac{1}{-1.5+2} = \dfrac{1}{0.5} = 2$، وباستخدام السقف نحصل على $2$، وباستخدام الأرضية نحصل على $2$ أيضًا.

عند $x = -1.1$: نقوم بحساب $\dfrac{1}{-1.1+2} \approx \dfrac{1}{0.9} \approx 1.11$، وباستخدام السقف نحصل على $2$، وباستخدام الأرضية نحصل على $1$.

إذاً، القيمة $1$ لا تظهر في نطاق $f(x)$ في هذه الحالة.

لذا، الإجابة على السؤال هي: العدد $1$ لا يكون في نطاق $f(x)$.

لنستكشف تفاصيل هذه المسألة الرياضية بشكل أكثر تفصيلاً، ولنتناول القوانين والتعريفات المستخدمة في الحل.

أولاً، لنُعرِّف الدالة $f(x)$ بشكل كامل:

ونلاحظ أن $f(x)$ غير معرفة عند $x = -2$.

قبل أن نقوم بحساب القيم في الفاصل $-2 < x < -1$، دعونا نتأكد من فهم السقف والأرضية:

1. السقف (Ceiling):
   إذا كان لدينا عدد عشري، فإن السقف يعني تقريب العدد إلى أقرب عدد صحيح أكبر أو يساويه. على سبيل المثال، $\lceil 2.3 \rceil = 3$ و$\lceil -1.8 \rceil = -1$.

2. الأرضية (Floor):
   إذا كان لدينا عدد عشري، فإن الأرضية تعني تقريب العدد إلى أقرب عدد صحيح أصغر أو يساويه. على سبيل المثال، $\lfloor 4.7 \rfloor = 4$ و$\lfloor -3.2 \rfloor = -4$.

الآن، دعونا نحسب قيم في الفاصل $-2 < x < -1$:

عند $x = -1.5$: نقوم بحساب $\dfrac{1}{-1.5+2} = \dfrac{1}{0.5} = 2$، وباستخدام السقف نحصل على $2$، وباستخدام الأرضية نحصل على $2$ أيضًا.

عند $x = -1.1$: نقوم بحساب $\dfrac{1}{-1.1+2} \approx \dfrac{1}{0.9} \approx 1.11$، وباستخدام السقف نحصل على $2$، وباستخدام الأرضية نحصل على $1$.

القانون المستخدم هو قانون تقريب السقف والأرضية. عندما نعمل مع أعداد عشرية ونقوم بتقسيم 1 على الفاصلة العشرية، نحتاج إلى مراعاة كيف يؤثر تقريب السقف والأرضية على الناتج.

إذاً، القيمة $1$ لا تظهر في نطاق $f(x)$ في هذه الحالة.

بهذا نكون قد قدمنا حلاً شاملاً للمسألة باستخدام قوانين تقريب السقف والأرضية.