تحليل دالة الجيب والكوسينوسية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي إيجاد نطاق الدالة $f(x) = \sin^4 x + \cos(X) x$ حيث $x$ يتغير على جميع الأعداد الحقيقية، والإجابة المطلوبة هي $1$، والهدف هو إيجاد قيمة المتغير المجهول $X$.

لنقوم بحل المسألة:
نعلم أن تعبير الدالة $f(x)$ يشتمل على دالتي الجيب والكوسينوس، وتحديداً $\sin x$ و $\cos x$.
بما أن الجيب والكوسينوس دوماً يتراوحان بين -1 و 1، فإن أقصى قيمة ممكنة لـ $\sin^4 x$ هي 1، وأقل قيمة ممكنة لـ $\sin^4 x$ هي 0.
بالنسبة للتعبير $\cos(X) x$، فإن أقصى قيمة ممكنة للجزء $\cos(X)$ هي 1 وأقل قيمة ممكنة هي -1.
بالنظر إلى هذه الحقائق، نستنتج أن أقصى قيمة ممكنة للدالة $f(x)$ هي $1 + 1 = 2$، وأقل قيمة ممكنة هي $0 – 1 = -1$.

ومع ذلك، نلاحظ أن الإجابة المطلوبة هي 1. لذا يجب أن يكون المتغير $X$ بحيث يكون الجزء $\cos(X)$ يتساوى مع 0.

للوصول إلى قيمة $X$، نعلم أن قيمة الكوسينوس تكون 0 في بعض الزوايا مثل $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ وغيرها. لذا، نستنتج أن قيمة $X$ يجب أن تكون $\frac{\pi}{2} + k\pi$، حيث $k$ عدد صحيح.
وهذا يتوافق مع القيم المعروفة للكوسينوس عندما يكون الزاوية $X$ تساوي $\frac{\pi}{2}$، وهو ما يحقق الناتج المطلوب $f(x) = 1$.

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $\frac{\pi}{2}$.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ وتحديد نطاق الدالة $f(x) = \sin^4 x + \cos(X) x$، يمكننا استخدام بعض الخصائص الأساسية للدوال الجيبية والكوسينوسية بالإضافة إلى فهم جيد لأسس الرياضيات.

الخطوات المتبعة لحل المسألة هي:

1. تحليل الدالة:

   • نبدأ بفحص الدالة $f(x)$ لفهم كيفية تأثير كل عنصر فيها.
   • الدالة تحتوي على مربع للجيب والكوسينوس، وهما دوماً يتراوحان بين 0 و 1.
   • نرى أن أقصى قيمة ممكنة للجزء $\sin^4 x$ هي 1، وأقل قيمة ممكنة هي 0.
   • أما بالنسبة للجزء $\cos(X) x$، فإن أقصى قيمة ممكنة للكوسينوس هي 1 وأقل قيمة ممكنة هي -1.

2. تحديد نطاق الدالة:

   • نجمع القيم القصوى والقيم الدنيا لكل جزء من الدالة.
   • أقصى قيمة ممكنة لـ $f(x)$ هي $1 + 1 = 2$، وأقل قيمة ممكنة هي $0 – 1 = -1$.

3. تحديد قيمة المتغير $X$:

   • الإجابة المطلوبة هي $1$، لذا يجب أن يكون الجزء $\cos(X)$ يساوي 0.
   • نستنتج أن $X$ يجب أن يكون بحيث يتساوى $\cos(X)$ مع 0.
   • قيمة الكوسينوس تكون 0 في بعض الزوايا مثل $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ وغيرها.

4. تحديد قيمة $X$:

   • بالنظر إلى القيم المعروفة للكوسينوس، نجد أن $X$ يجب أن يكون بحيث يكون الجزء $\cos(X)$ يساوي 0.
   • ومن خلال التحليل، نجد أن $X$ يجب أن يكون $\frac{\pi}{2}$ أو بصورة عامة $\frac{\pi}{2} + k\pi$، حيث $k$ عدد صحيح.

باختصار، استخدمنا خصائص الدوال الجيبية والكوسينوسية لتحليل الدالة وتحديد نطاقها، ثم استنتجنا قيمة المتغير $X$ بناءً على الإجابة المطلوبة وخصائص الكوسينوس.