تحليل حبوب الأرز على لوح الشطرنج (مسألة رياضيات)

المرأة توضع على كل مربع $k$ في لوح الشطرنج مقدارًا يعادل $2^k$ حبة أرز. ما هو الفرق بين عدد حبات الأرز الموجودة على المربع رقم $10$ ومجموع عدد حبات الأرز على المربعات الثمانية الأولى؟

لنقم أولاً بحساب عدد حبات الأرز على المربع رقم $10$. يُمثل المربع رقم $k$ مقدار $2^k$، لذا على المربع رقم $10$ سيوضع $2^{10}$ حبة أرز. وبتوسيع هذه القيمة، نحصل على:

$2^{10} = 1024$

الآن، لحساب عدد حبات الأرز على المربعات الثمانية الأولى، يجب جمع قيم المربعات من $1$ إلى $8$. سنقوم بذلك بالتالي:

$2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^8$

نستخدم القاعدة العامة للمجموعة الهندسية لحساب هذا المجموع، حيث أن القاعدة تقول:

$S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right)$

حيث $S_n$ هو مجموع العناصر الأولى $n$، $a$ هو العنصر الأول، و $r$ هو النسبة الثابتة. في هذه الحالة، $a = 2$ و $r = 2$، لذا نحسب:

$S_8 = 2 \left( \frac{2^8 – 1}{2 – 1} \right)$

$S_8 = 2 \times (256 – 1)$

$S_8 = 2 \times 255$

$S_8 = 510$

الآن نقوم بحساب الفرق بين عدد حبات الأرز على المربع رقم $10$ ومجموع عدد حبات الأرز على المربعات الثمانية الأولى:

$1024 – 510 = 514$

إذاً، الفرق بين عدد حبات الأرز على المربع رقم $10$ ومجموع عدد حبات الأرز على المربعات الثمانية الأولى هو $514$ حبة أرز.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق القوانين الرياضية والجبرية. دعونا نبدأ بالتفصيل:

القانون الأول: تمثيل كميات الأرز في كل مربع بواسطة $2^k$ حيث $k$ هو رقم المربع.

القانون الثاني: لحساب مجموع عدد حبات الأرز على المربعات من $1$ إلى $n$، يستخدم القانون الهندسي للمجموعة الهندسية:

$S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right)$

حيث $S_n$ هو مجموع العناصر الأولى $n$، $a$ هو العنصر الأول، و $r$ هو النسبة الثابتة.

الحل:

1. لحساب عدد حبات الأرز على المربع رقم $10$، نستخدم القانون الأول:
   $2^{10} = 1024$

2. لحساب مجموع عدد حبات الأرز على المربعات الثمانية الأولى، نستخدم القانون الهندسي:
   $S_8 = 2 \left( \frac{2^8 – 1}{2 – 1} \right) = 2 \times (256 – 1) = 2 \times 255 = 510$

3. الآن، نحسب الفرق بين عدد حبات الأرز على المربع رقم $10$ ومجموع عدد حبات الأرز على المربعات الثمانية الأولى:
   $1024 – 510 = 514$

إذاً، الفرق هو $514$ حبة أرز.

القوانين المستخدمة:

• قانون تمثيل كميات الأرز في المربعات باستخدام $2^k$.
• قانون الهندسية لحساب مجموع العناصر في مجموعة هندسية.

تمثيل البيانات واستخدام القوانين الرياضية يساعد في فهم العلاقات والتفاعلات بين الكميات وحسابها بفعالية.