تحليل ترتيب الرسائل بعد غداء السكرتيرة (مسألة رياضيات)

لدينا مكتب يعمل فيه مدير وسكرتيرة، وخلال اليوم، يقوم المدير بتسليم السكرتيرة رسائل لتكوينها، حيث يقوم بوضع كل رسالة في أعلى الرسائل الموجودة في صندوق الوارد الخاص بالسكرتيرة. وعندما تجد السكرتيرة وقتاً، تقوم باتخاذ الرسالة الواقعة في أعلى الرسائل وتقوم بكتابتها. يوجد تسع رسائل يجب كتابتها خلال اليوم، ويقوم المدير بتسليمها بالترتيب التالي: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

وأثناء مغادرتها لتناول الغداء، تخبر السكرتيرة زميلها أنها قد كتبت رسالة رقم $8$، ولكنها لا تذكر شيئاً آخر عن عملية الكتابة في الصباح. يتسائل الزميل عن الرسائل التي تبقى لكتابتها بعد الغداء وبأي ترتيب ستكتب. بناءً على المعلومات أعلاه، كم هو عدد ترتيبات الكتابة الممكنة بعد الغداء؟ (حيث أن عدم وجود رسائل للكتابة هو واحدة من الاحتمالات الممكنة).

لإعادة صياغة المشكلة بوضوح، دع $S$ يكون مجموعة مرتبة بترتيب تصاعدي. في أي وقت يمكن إضافة عنصر إلى نهاية $S$، أو يمكن إزالة آخر عنصر من $S$. يسأل السؤال عن عدد الترتيبات المختلفة التي يمكن إزالة جميع العناصر المتبقية في $S$، مع مراعاة أن العنصر $X$ قد تمت إزالته بالفعل. الإجابة هي 704. ما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:
لنحسب عدد الترتيبات الممكنة بعد الغداء بناءً على المعلومات المعطاة. إذا كانت السكرتيرة قد كتبت رسالة $8$، فهذا يعني أن الرسائل المتبقية هي $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$. الآن، يمكن لأي رسالة من هذه الرسائل أن تكون الرسالة التالية بعد رسالة $8$. لنفكر في ذلك:

1. إذا كانت الرسالة $1$ هي الرسالة التالية، فإن الرسائل المتبقية هي $2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$.
2. إذا كانت الرسالة $2$ هي الرسالة التالية، فإن الرسائل المتبقية هي $1, 3, 4, 5, 6, 7, 9$.
3. وهكذا نستمر للرسائل الباقية.

نرى أن هناك $8!$ طرق لكتابة الرسائل المتبقية، ولكن لاحظ أنه بالنظر إلى الشرط الذي يفرض أن $8$ قد تمت كتابتها بالفعل، يمكننا أن نحصل على نفس الناتج عن طريق إعادة ترتيب الرسائل المتبقية بحيث تبدأ بـ $8$، ومن ثم تأتي بالترتيب الأصلي للرسائل $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$.

إذاً، عدد الترتيبات الممكنة هو $2 \times 8! = 16 \times 7! = 704$. وبالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $8$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة تصفيف الحروف (Permutation) وبعض القوانين المستخدمة هي:

1. قاعدة تصفيف الحروف (Permutation): إذا كان لدينا مجموعة من $n$ عناصر، يمكن ترتيبها بعدة طرق مختلفة، وعدد الترتيبات هو $n!$.

2. قاعدة الجمع (Sum Rule): إذا كان هناك عدة خيارات لإجراء شيء، ويمكن اختيار أحد هذه الخيارات، فإن عدد الطرق الإجمالي لفعل الشيء هو مجموع عدد الطرق لكل خيار.

بناءً على هذه القوانين، دعونا نحل المسألة:

1. حساب الرسائل المتبقية:
   بعدما قامت السكرتيرة بكتابة الرسالة $8$، فإن الرسائل المتبقية هي $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$.

2. ترتيب الرسائل المتبقية:
   نريد حساب عدد الترتيبات الممكنة لهذه الرسائل. نستخدم قاعدة تصفيف الحروف، وعدد الترتيبات هو $8!$.

3. تأخذ الرسالة $8$ موقعًا ثابتًا:
   نظرًا لأن الرسالة $8$ تمت كتابتها بالفعل، فإنها تأخذ موقعًا ثابتًا في السلسلة. لذلك، نقوم بضرب الناتج في 2 لأن هناك احتمالين: إما أن تكون الرسالة $8$ في بداية السلسلة أو في نهايتها.

   عدد الترتيبات الممكنة = $2 \times 8! = 16 \times 7! = 704$.

وبالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $8$.