تحديد نصف قطر دائرة في الفضاء الكارتيسي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لنحدد نصف قطر الدائرة الموصوفة بالمعادلة التالية: $9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$.

الحل:

لنقوم بتحويل المعادلة إلى صيغة معادلة دائرة القياسية. نبدأ بإكمال المربع للعبارات التي تحتوي على $x$ و $y$:

$9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$

$9(x^2 – 2x) + 9(y^2 + 4y) = -44$

ثم نكتب العبارة كمربع مكتمل لل $x$ وال $y$:

$9(x^2 – 2x + 1) + 9(y^2 + 4y + 4) = -44 + 9 + 36$

$9(x – 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 1$

الآن بعد أن وصلنا إلى هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن المعادلة تشبه معادلة دائرة بشكل عام:

$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

حيث $(h, k)$ هي مركز الدائرة، و $r$ هو نصف قطر الدائرة.

نقارن بين المعادلتين لنجد قيم $h$ و $k$ و $r$:

من المعادلة المعطاة:

$h = 1$
$k = -2$
$r^2 = \frac{1}{9}$

بالتالي، نصف قطر الدائرة يكون $r = \frac{1}{3}$.

وبالتالي، النصف قطر الدائرة الموصوفة بالمعادلة المعطاة هو $\frac{1}{3}$ وحدة.

لحل المسألة وتحديد نصف قطر الدائرة الموصوفة بالمعادلة $9x^2 – 18x + 9y^2 + 36y + 44 = 0$، نحتاج إلى استخدام مفاهيم الجبر والهندسة الهندسية.

الخطوات الأساسية لحل المسألة هي كالتالي:

1. تحويل المعادلة إلى صيغة قياسية للدائرة:
   نبدأ بتجميع مصطلحات ال $x$ معًا ومصطلحات ال $y$ معًا في المعادلة. بعد ذلك، نكمل المربع لإكمال مربعين مربعين متوافقين، لكل من مصطلحات ال $x$ وال $y$.

2. تحديد مركز الدائرة ونصف قطرها:
   بعد تحويل المعادلة إلى الشكل القياسي، نقارنها بمعادلة دائرة عامة $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة و $r$ هو نصف قطرها.

3. تطبيق القوانين الجبرية والهندسية:
   نستخدم المعرفة بأن المربع الكامل للعبارات $(x – h)$ و $(y – k)$ في معادلة الدائرة يمثل المسافة بين نقطة أي $(x, y)$ على الدائرة ومركزها $(h, k)$. ونعرف أيضًا أن قيمة $r$ تمثل طول نصف قطر الدائرة.

بالتوافق مع الخطوات السابقة والقوانين المذكورة، نحل المعادلة ونحدد موقع مركز الدائرة ونصف قطرها.

معالجة الخطوات بشكل مفصل واستخدام القوانين الجبرية والهندسية يساعد في فهم العلاقة بين مختلف العناصر الهندسية والرموز الجبرية، مما يزيد من فهم الطرق المستخدمة في حل المسألة ويمكن من الوصول إلى الإجابة بدقة وفهم عميق.