تحديد سعر الكتاب لأقصى إيراد (مسألة رياضيات)

لحساب الإيراد الشهري، يجب ضرب عدد الكتب المباعة بالسعر لكل كتاب. إذا كان عدد الكتب المباعة يومياً يعادل $130 – 5p$، فإن الإيراد الشهري سيكون:
$R(p) = p \times (130 – 5p)$

لحساب القيمة المثلى للإيراد، نستخدم طريقة الاشتقاق. نقوم بحساب الاشتقاق الأولى لوظيفة الإيراد بالنسبة لسعر الكتاب $p$، ونضعها تساوي صفرًا لإيجاد نقاط المرجحة.

$R'(p) = 130 – 10p$

الآن نضع $R'(p)$ يساوي صفرًا ونحل للعثور على قيمة $p$ المثلى:
$130 – 10p = 0$
$10p = 130$
$p = 13$

لكن يجب التأكد مما إذا كانت هذه النقطة هي نقطة ماكسيمم أم لا، لذا سنقوم بفحص الانحدار الثاني للوظيفة $R(p)$.

$R”(p) = -10$

إذا كان $R”(p)$ يكون أقل من الصفر عند $p = 13$ (وهو -10) ، فإن هذا يعني أن النقطة $p = 13$ هي نقطة ماكسيمم للإيراد.

لذا، ينبغي على المتجر أن يحدد سعر الكتاب بمبلغ 13 دولارًا لتحقيق أقصى إيراد.

لحل مسألة تحديد أفضل سعر للكتاب من أجل تحقيق أقصى إيراد، نستخدم مفهوم الإيراد والتكلفة والربح. في هذه الحالة، الإيراد هو المبلغ الذي يحصل عليه المتجر من بيع الكتب، وهو يتأثر بسعر الكتاب وعدد الكتب التي يتم بيعها. القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون الإيراد: يتم حساب الإيراد عن طريق ضرب سعر الكتاب بعدد الكتب المباعة.
2. قانون الطلب: يوضح العلاقة بين سعر الكتاب وعدد الكتب المباعة، ويعطى في المسألة على شكل $130 – 5p$.
3. قانون الربح: يتم حساب الربح عن طريق طرح التكلفة من الإيراد.

الخطوات لحساب السعر المثلى:

1. تعريف وظيفة الإيراد: يتم ضرب سعر الكتاب بعدد الكتب المباعة.
2. حساب الإيراد الشهري كدالة من السعر: يتم ذلك بضرب عدد الكتب المباعة ($130 – 5p$) بسعر الكتاب ($p$).
3. حساب الاشتقاق الأول: يتم ذلك للعثور على نقاط التغيير في الإيراد.
4. حساب الاشتقاق الثاني: يتم ذلك لتحديد ما إذا كانت النقطة التي تم العثور عليها هي ماكسيمم أم لا.
5. تحديد السعر الأمثل: يتم ذلك عندما يكون الانحدار الثاني للوظيفة الإيراد سالبًا في النقطة التي تم العثور عليها.

باختصار، يجب على المتجر تحديد سعر الكتاب الذي يحقق أعلى إيراد، وذلك بتحليل العلاقة بين سعر الكتاب وعدد الكتب المباعة واستخدام الاشتقاقات للعثور على النقطة التي يكون فيها الإيراد أقصى.