تبسيط تعابير الأسس العددية. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد تبسيط التعبير التالي: $(576)^\frac{1}{4} \times (216)^\frac{1}{2}$.

الحل:

لنقم بتحليل كل عدد على حدة:

للعدد $576$:

نعرف أن $576 = 2^6 \times 3^2$.

إذاً، $576$ يمكن كتابته على شكل قاعدة معربة كالتالي: $576 = (2^6 \times 3^2) = (2^3 \times 2^3 \times 3^2) = (2^3 \times 3^2)^2$.

بالتالي، $(576)^\frac{1}{4} = ((2^3 \times 3^2)^\frac{1}{4})^2 = (2 \times 3)^\frac{1}{2} = 6^\frac{1}{2}$.

للعدد $216$:

نعرف أن $216 = 2^3 \times 3^3$.

إذاً، $216$ يمكن كتابته على شكل قاعدة معربة كالتالي: $216 = (2^3 \times 3^3) = (2^3 \times 3^2 \times 3) = (2^3 \times 3^2) \times 3$.

بالتالي، $(216)^\frac{1}{2} = (2^3 \times 3^2)^\frac{1}{2} \times 3^\frac{1}{2} = (2 \times 3) \times 3^\frac{1}{2} = 6 \times 3^\frac{1}{2}$.

الآن، لنقم بضرب النتائج:

$(576)^\frac{1}{4} \times (216)^\frac{1}{2} = (6^\frac{1}{2}) \times (6 \times 3^\frac{1}{2})$.

نستخدم قاعدة الأسس للجمع:

$(6^\frac{1}{2}) \times (6 \times 3^\frac{1}{2}) = 6^\frac{1}{2} \times 6 \times 3^\frac{1}{2}$.

الآن، نقوم بضرب الأعداد الموجودة معًا:

$6^\frac{1}{2} \times 6 \times 3^\frac{1}{2} = 6^\frac{1}{2} \times 6^\frac{1}{1} \times 3^\frac{1}{2} = 6^{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} \times 3^\frac{1}{2}$.

نجمع الأسس:

$6^{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} \times 3^\frac{1}{2} = 6^\frac{3}{2} \times 3^\frac{1}{2}$.

وهكذا، تبسيط التعبير الأصلي يُعطينا $6^\frac{3}{2} \times 3^\frac{1}{2}$.

في حل المسألة، استخدمنا عدة خطوات وقوانين حسابية لتبسيط التعبير. إليك الخطوات مع القوانين المستخدمة:

1. تحليل الأعداد إلى أسسها الأولية: بدأنا بتحليل الأعداد $576$ و$216$ إلى عواملها الأساسية. هذا يتضمن استخدام قوانين تحليل الأعداد الصحيحة إلى أسسها الأولية.

2. تبسيط الأعداد الأسية: بعد تحليل الأعداد إلى عواملها الأسية، استخدمنا قوانين الأعداد الأسية لتبسيط التعبيرات. هذه القوانين تتضمن قوانين قوى الأعداد، حيث يتم جمع أو ضرب الأسس عند العمليات الحسابية.

3. استخدام قوانين الأسس في الضرب والجمع: عند ضرب أو جمع الأعداد الأسية، نستخدم قوانين الأسس لجمع أو ضرب الأعداد بالطريقة الصحيحة.

4. تحويل الأسيمة إلى جذور: نحول الأعداد الأسية إلى جذور للتسهيل على الحساب والتبسيط.

5. تطبيق قوانين الأسس والجذور في الحسابات النهائية: في النهاية، نقوم بتطبيق قوانين الأسس والجذور للحصول على التعبير النهائي المبسط.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نجحنا في تبسيط التعبير $(576)^\frac{1}{4}(216)^\frac{1}{2}$ إلى $6^\frac{3}{2} \times 3^\frac{1}{2}$، مع التأكيد على استخدام القوانين الرياضية المعتمدة والمعروفة لتحليل وتبسيط الأعداد والأسس.