تبسيط الكسور الجذرية (مسألة رياضيات)

نقوم بتبسيط المقام للكسر $\frac{\sqrt{8}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ عن طريق ضربه في التكافؤ المناسب:

$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

وذلك للتخلص من الجذور في المقام. الآن سنقوم بضرب البسط مع البسط والمقام مع المقام:

$\frac{(\sqrt{8}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

نستخدم خاصية فارق مربعين للتخلص من الجذور في البسط والمقام:

$(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$

نقوم بذلك للبسط والمقام:

$\frac{(8-3) + (\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}) – (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) – (\sqrt{3} \cdot \sqrt{8})}{(2-3)}$

الآن نقوم بتبسيط البسط:

$\frac{5 + \sqrt{16} – \sqrt{6} – \sqrt{24}}{-1}$

نحسب الجذور المربعة:

$\frac{5 + 4 – \sqrt{6} – 2\sqrt{6}}{-1}$

ونقوم بتبسيطها:

$\frac{9 – 3\sqrt{6}}{-1}$

وبما أن المقام يساوي -1 نقوم بتبديل علامة القسمة:

$= -9 + 3\sqrt{6}$

إذاً، الناتج المبسط للكسر هو $-9 + 3\sqrt{6}$.

لحل المسألة، بدأنا بتبسيط الكسر $\frac{\sqrt{8}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ عن طريق ضربه في التكافؤ المناسب، وذلك للتخلص من الجذور في المقام. ثم استخدمنا خاصية فارق مربعين لتبسيط البسط والمقام.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. ضرب التكافؤ المناسب: نقوم بضرب الكسر في تكافؤ مناسب يساعد في التخلص من الجذور في المقام.

2. خاصية فارق مربعين: هي قاعدة جبرية تنص على أن فارق مربعين $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$، وتستخدم لتبسيط تعابير تحتوي على جذور.

بعد ذلك، قمنا بتبسيط البسط والمقام عن طريق حساب القيم العددية والتبسيط الجبري للتعابير. تم استخدام قواعد الجبر الأساسية لجمع وطرح الأعداد والجذور المربعة في هذه الخطوة.

في النهاية، حصلنا على الناتج المبسط للكسر، وهو $-9 + 3\sqrt{6}$، حيث تم إعادة ترتيب وتبسيط التعبير للحصول على الشكل الأكثر بساطة ممكنًا.