تبسيط الكسور الجذرية: تقنية وقوانين (مسألة رياضيات)

نريد تركيب المقام بحيث يتم التخلص من الجذر في المقام. للقيام بذلك، نستخدم تقنية تعميم الكسر:

نبدأ بضرب الكسر في العد والمقام بالمقدار الذي يجعل المقام عبارة عن عبارة ربعية متعددة للجذر الموجود في المقام. في هذه الحالة، يمكننا ضرب الكسر بالعد والمقام ب $(\sqrt{2} + 1)$:

الآن نقوم بحساب العدد الذي حصلنا عليه في المقام:

والمقام الذي حصلنا عليه هو الفرق بين مربعين:

نحصل على:

إذاً، الجواب هو $\sqrt{2} + 1$.

لحل مسألة ترجيح الكسور وتبسيطها، علينا أولاً مراجعة مجموعة من القواعد والتقنيات الرياضية المستخدمة. هنا القوانين المهمة والتي تستخدم في حل مسألة تبسيط الكسور:

1. قاعدة ضرب الكسور: يمكننا ضرب الكسور معًا بطريقة تسمى “ضرب الكسور”، حيث نضرب العدد في العدد والمقام في المقام.
2. تعميم الكسور: يعني هذا تضريب الكسر بكسر يساوي الواحد بطريقة ما. في هذه الحالة، نستخدم تعميم الكسور للتخلص من جذر في المقام.
3. تبسيط الجذور: نستخدم هذه القاعدة لحساب الجذور عند الحاجة، مثل حساب الجذر التربيعي.
4. قاعدة الفرق بين مربعين: هذه القاعدة تساعد في حساب الفرق بين مربعين.

الآن، بعد مراجعة القواعد، دعونا نحل المسألة:

نريد تبسيط الكسر $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.

نستخدم تقنية تعميم الكسر للتخلص من الجذر في المقام. لذا، نضرب الكسر بالعد والمقام بالمقدار الذي يجعل المقام عبارة عن فرق بين مربعين:

حيث أن العدد $(\sqrt{2} + 1)$ يعتبر العدد المعادل لفرق مربعين $(\sqrt{2} – 1)$.

الآن، نقوم بضرب العد والمقام:

ونقوم بحساب المقام:

وهكذا، نحصل على الكسر المبسط:

إذاً، الجواب النهائي هو $\sqrt{2} + 1$.

باختصار، قمنا باستخدام قوانين الجبر والتبسيط لتحويل الكسر إلى صيغة أكثر بساطة وتعبيرًا. استخدمنا قاعدة تعميم الكسور وقاعدة الفرق بين مربعين لتحقيق ذلك.