تبسيط الكسور الجذرية: تطبيقات وحلول. (مسألة رياضيات)

نريد ترجيع المقام إلى صورة منتج متبلور، فلنبدأ:

نقوم بضرب الكسر بالعدد المركب المتشابه للمقام وهو $1+\sqrt{3}$ في البسط والمقام على التوالي:

نحسب الناتج:

حيث نستخدم قاعدة الضرب الجبري:

وبالتالي:

بعد ذلك نقسم كل جزء من الكسر على $-2$ لنحصل على الجواب المطلوب:

وبناءً على الصيغة المطلوبة للإجابة، فإن $A = -2$، $B = -1$، و $C = 3$.

إذاً، $ABC = (-2)(-1)(3) = 6$.

لحل المسألة وتقويمها بشكل أكثر تفصيلًا، نبدأ بتطبيق عملية تركيب الجذور في المقام والبسط. الهدف من ذلك هو التخلص من الجذور في المقام.

القانون المستخدم هو قانون ضرب الجمع:

إذا كان لدينا كسرًا يحتوي على جذر في المقام أو البسط، فيمكننا ضرب الكسر بقيمة تجعل المقام أو البسط يتخلص من الجذر.

الآن، لنقم بتطبيق هذا القانون:

الكسر الأصلي: $\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$

نضرب البسط والمقام في الكسر بقيمة متشابهة للمقام للتخلص من الجذر في المقام:

$\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$

هنا، استخدمنا قانون الضرب الجبري.

نحسب الناتج:

البسط: $(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

المقام: $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1 – (\sqrt{3})^2 = 1 – 3 = -2$

بالتالي، الكسر يصبح:

$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$

ثم نبسط الكسر:

$= -2 – \sqrt{3}$

هذا هو الجواب المطلوب.

لذا، القوانين المستخدمة هي:

1. قانون ضرب الجمع في جذرين: $(a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2$
2. قانون ضرب مربعين مختلفين: $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$

تطبيق هذه القوانين يساعدنا في تحويل الكسر إلى صورة مطلوبة، وهو الهدف الأساسي من العملية.