مسائل رياضيات

تبسيط التعبيرات العقدية في جبر الأعداد. (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 30/01/2024
0

نريد تبسيط التعبير التالي:

5+12i2−3i\dfrac{5+12i}{2-3i}

لحل هذا التعبير، نستخدم طريقة ضرب البسط والمقام بالعدد المركب المش conjugate للمقام. بمعنى آخر، نقوم بضرب البسط والمقام في $(2+3i)$ لنقل المقام إلى صورة عدد حقيقي.

مواضيع ذات صلة

لنقوم بالعملية:

5+12i2−3i=(5+12i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=(5×2)+(5×3i)+(12i×2)+(12i×3i)(2×2)+(2×3i)−(3i×2)−(3i×3i)=10+15i+24i+36i24+6i−6i−9i2=10+15i+24i−364+9=−26+39i13=−2613+3913i=−2+3i\begin{align*} \dfrac{5+12i}{2-3i} &= \dfrac{(5+12i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} \\ &= \dfrac{ (5 \times 2) + (5 \times 3i) + (12i \times 2) + (12i \times 3i) }{ (2 \times 2) + (2 \times 3i) – (3i \times 2) – (3i \times 3i) } \\ &= \dfrac{10 + 15i + 24i + 36i^2}{4 + 6i – 6i – 9i^2} \\ &= \dfrac{10 + 15i + 24i – 36}{4 + 9} \\ &= \dfrac{-26 + 39i}{13} \\ &= \dfrac{-26}{13} + \dfrac{39}{13}i \\ &= -2 + 3i \end{align*}

إذاً، النتيجة النهائية هي $-2+3i$.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وتبسيط التعبير $\frac{5+12i}{2-3i}$، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين في جبر الأعداد العقدية. هنا الخطوات والقوانين المستخدمة:

  1. ضرب البسط والمقام في conjugate المقام: نقوم بضرب البسط والمقام في العدد المركب المش conjugate للمقام، وذلك لتخليصنا من المتغيرات الخيالية في المقام وجعلها أعداد حقيقية.
  2. ضرب الأعداد العقدية: نقوم بضرب الأعداد العقدية بناءً على قانون ضرب الأعداد العقدية.
  3. استخدام قوانين القوى للوحدة الخيالية $i$: نستخدم القوانين المعروفة للعمل مع الوحدة الخيالية $i$، مثل $i^2 = -1$.
  4. تجميع الأعداد الحقيقية والخيالية بشكل مناسب: بعد الضرب والتبسيط، نقوم بتجميع الأعداد الحقيقية والخيالية معًا للحصول على النتيجة النهائية بصورة مناسبة.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

  1. نبدأ بضرب البسط والمقام في conjugate المقام:
5+12i2−3i=(5+12i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)\frac{5+12i}{2-3i} = \frac{(5+12i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}
  1. ثم نقوم بحساب الضرب في البسط والمقام:
البسط:(5+12i)(2+3i)=10+15i+24i+36i2=10+15i+24i−36=−26+39iالمقام:(2−3i)(2+3i)=4+6i−6i−9i2=4+9=13\begin{align*} \text{البسط:} &\quad (5+12i)(2+3i) = 10 + 15i + 24i + 36i^2 \\ &= 10 + 15i + 24i – 36 \\ &= -26 + 39i \\ \text{المقام:} &\quad (2-3i)(2+3i) = 4 + 6i – 6i – 9i^2 \\ &= 4 + 9 \\ &= 13 \end{align*}
  1. الآن نقوم بتقسيم البسط على المقام:
−26+39i13\frac{-26 + 39i}{13}
  1. وأخيرًا، نقوم بتقسيم كل جزء من البسط على المقام:
−2613+39i13=−2+3i\frac{-26}{13} + \frac{39i}{13} = -2 + 3i

وهكذا، النتيجة النهائية هي $-2+3i$.

هذه العمليات تعتمد على قوانين جبر الأعداد العقدية وقوانين الوحدة الخيالية، وتستخدم لتبسيط التعابير العقدية وجعلها في صورة مناسبة ومفهومة.

اخر تحديث 30/01/2024
0