تبسيط التعبيرات الجذرية: حلول وتطبيقات (مسألة رياضيات)

نريد تبسيط التعبير التالي:

نبدأ بتبسيط المعاملات تحت الجذر في المقام:

الآن يمكننا كتابة المعادلة بصورة مبسطة:

للتبسيط أكثر، نقوم بتقسيم كل من الجذرين تحت عدد 4:

الآن يمكننا كتابة المعادلة بصورة مبسطة أكثر:

نقوم الآن بحساب الجذور:

الآن يمكننا كتابة المعادلة بصورتها النهائية:

للتبسيط، نجد القاسم المشترك الأصغر بين 12 و 28 وهو 84، لذا نقوم بضرب الكسر الأول في 7 والكسر الثاني في 3:

الآن نطرح الكسرين:

إذاً، الجواب النهائي هو 2.

لنقوم بحل المسألة التي تتضمن تبسيط التعبير:

نستخدم القوانين والخواص التالية في الحل:

1. خاصية تبسيط الجذور: يمكننا تبسيط جذور الأعداد عندما يكون لدينا أعداد صحيحة متجانسة تحت الجذر.
2. خاصية تقسيم الجذور: يمكن تقسيم الجذور عندما تكون لدينا نفس الجذر في المقام.
3. خاصية ضرب وقسمة الجذور: يمكن ضرب وقسمة الجذور بتطبيق قوانين الجذور.
4. خاصية التبسيط الجبري: يمكن تبسيط التعبيرات الجبرية للوصول إلى تعبير أبسط.

الآن، سنقوم بحل المسألة:

1. تبسيط المقامات:
   نستخدم الخاصية (1) لتبسيط المقامات:

   $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$
   $$\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = \sqrt{16} \times \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$$

2. كتابة المعادلة بصورة مبسطة:
   الآن، بعد تبسيط المقامات، يمكننا كتابة المعادلة بصورة مبسطة:

   $$\frac{\sqrt{507}}{4\sqrt{3}} – \frac{\sqrt{175}}{4\sqrt{7}}$$

3. تبسيط الكسور:
   نستخدم الخاصية (2) لتقسيم الجذور في المقام عن طريق ضرب كل كسر في جذر العدد المناسب:

   $$\frac{\sqrt{507}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{507}}{4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{507}}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{507 \times 3}}{12}$$
   $$\frac{\sqrt{175}}{4\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{175}}{4} \times \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{175}}{4\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{175 \times 7}}{28}$$

4. تبسيط الجذور:
   نستخدم الخاصية (3) لحساب الجذور:

   $$\sqrt{507 \times 3} = \sqrt{1521} = 39$$
   $$\sqrt{175 \times 7} = \sqrt{1225} = 35$$

5. كتابة المعادلة بصورتها النهائية:
   الآن بعد حساب الجذور، يمكننا كتابة المعادلة بصورتها النهائية:

   $$\frac{39}{12} – \frac{35}{28}$$

6. التبسيط النهائي:
   نستخدم الخاصية (4) لتبسيط التعبير الجبري:

   $$\frac{39 \times 7}{12 \times 7} – \frac{35 \times 3}{28 \times 3} = \frac{273}{84} – \frac{105}{84}$$
   $$= \frac{273 – 105}{84} = \frac{168}{84} = 2$$

وهكذا، نصل إلى الحل النهائي الذي هو 2.