تبسيط التعبيرات الأسية: قوانين الأس والجذور (مسألة رياضيات)

قيمة التعبير $81^{3/4}$ عند تبسيطها تكون كالتالي:

نعلم أن $a^{m/n}$ يساوي جذر $n$ لقوة $m$ من $a$.

بالنسبة للتعبير $81^{3/4}$، فإنه يعني جذر $4$ للقوة $3$ من $81$.

لنحسب القيمة:

$81 = 3^4$

إذاً:

$81^{3/4} = (3^4)^{3/4}$

باستخدام خاصية الأسس:

$(3^4)^{3/4} = 3^{4 \times \frac{3}{4}}$

الآن نقوم بضرب الأسس:

$3^{4 \times \frac{3}{4}} = 3^3$

والآن:

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$

إذاً، قيمة التعبير $81^{3/4}$ هي $27$.

لحل التعبير $81^{3/4}$ وتبسيطه، نحتاج إلى فهم القوانين الرياضية المتعلقة بالأسس والجذور. هذه القوانين تساعدنا في تبسيط التعبيرات وحساب القيم بشكل دقيق.

القوانين المستخدمة في حل هذه المسألة تشمل:

1. قانون الأس: $a^{m \times n} = (a^m)^n$
2. قانون الأس للقوة الكسرية: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
3. قوانين الجذور: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ و $\sqrt[n]{a}^m = a^{m/n}$

الآن، لنقم بتطبيق هذه القوانين على التعبير $81^{3/4}$:

أولاً، نعلم أن $81 = 3^4$. هذا يأتي من قاعدة الأس، حيث أننا نحصل على $81$ عندما نضرب الرقم $3$ في نفسه أربع مرات.

ثانياً، بموجب قانون الأس، يمكن تطبيق القوة $3/4$ على كل من الأساس والمقام لتصبح:

$(3^4)^{3/4}$

ثالثاً، بالاستفادة من خاصية الأسس، يمكن ضرب المقام والمضاعف ليكون:

$3^{4 \times \frac{3}{4}}$

رابعاً، يمكن إلغاء الـ 4 مع الـ 4 في المقام، ونحصل على:

$3^3$

خامساً، نحسب $3^3$ ببساطة لنحصل على القيمة النهائية.

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$

وبالتالي، قيمة التعبير $81^{3/4}$ هي $27$.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع تبسيط التعبيرات الأسية بسلاسة ودقة.