تبسيط التعبير الرياضي باستخدام الزوايا (مسألة رياضيات)

نرغب في تبسيط التعبير:

$\frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x}$

للقيام بذلك، سنستخدم المعادلات المثلثية والهوية المتبقية. بدايةً، لنقم بتطوير $\sin 2x$ و $\cos 2x$ باستخدام هويات الزاوي:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

$\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$

ثم نقوم بتعويض هذه القيم في التعبير الأصلي:

$\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{1 + \cos x + (\cos^2 x – \sin^2 x)}$

الآن، سنقوم بتجميع المصطلحات المشابهة وتبسيط التعبير. نلاحظ أن $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ونستخدم هذه الهوية لتبسيط التعبير:

$\frac{3 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x + \cos x – 1}$

الآن، يمكننا محاولة تبسيط المعامل الرباعي في المقام:

$\frac{3 \sin x \cos x}{(2 \cos x – 1)(\cos x + 1)}$

وهذا يمكن أيضًا تبسيطه عن طريق إعادة تنسيق العداد والمقام:

$\frac{-3 \sin x \cos x}{(1 – 2 \cos x)(1 + \cos x)}$

وهذا هو التبسيط النهائي للتعبير المعطى.

لنقم بتفصيل حلاً أكثر لتبسيط التعبير:

التعبير المطلوب تبسيطه هو:

$\frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x}$

نبدأ بتطوير $\sin 2x$ باستخدام هوية الزاوية المزدوجة:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

ثم نستخدم هويات الزوايا لتعويض $\cos 2x$:

$\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$

الآن، نقوم بتعويض هذه القيم في التعبير الأصلي:

$\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{1 + \cos x + (\cos^2 x – \sin^2 x)}$

نقوم بتجميع المصطلحات المشابهة:

$\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x + \cos x – \sin^2 x + 1}$

نستخدم هوية الجيب:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

لتبسيط المعامل الرباعي في المقام:

$\frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{(2 \cos x – 1)(\cos x + 1)}$

يمكن أيضًا تبسيط المعادلة النهائية إلى:

$\frac{-3 \sin x \cos x}{(1 – 2 \cos x)(1 + \cos x)}$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. هوية الزاوية المزدوجة:
   $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
   $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$

2. هوية الجيب:
   $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

3. جمع وطرح المصطلحات المشابهة:
   $a \sin x + b \sin x = (a + b) \sin x$
   $a \cos x + b \cos x = (a + b) \cos x$

4. تبسيط المعادلات الجبرية:
   $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$

تم استخدام هذه القوانين والهويات لتبسيط التعبير إلى الصورة النهائية المذكورة أعلاه.