تبسيط التعبير الجذري باستخدام الأسس (مسألة رياضيات)

التعبير الرياضي الذي نحتاج إلى تقييمه وتبسيطه هو:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$

لحسن الفهم، سنقوم بتفكيك هذا التعبير خطوة بخطوة.

أولاً، لنبدأ بحساب جذر التكعيب للتربيع، أي $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}$. يمكننا كتابة 4096 كقاعدة على أساس 2:

$4096 = 2^{12}$

وباستخدام قاعدة الأسس، نقوم بتبسيط التعبير:

$\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{2^{12}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{2^{6}}}}$

الآن، نستمر في تبسيط التعبير باستخدام الجذور:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{2^{6}}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{2^{3}}}}$

الآن، نقوم بحساب الجذر التكعيبي:

$\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{2^{3}}}} = \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$

أخيرًا، نقوم بتبسيط الجذر:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ولكن يجب تجنب وجود الجذر في المقام، لذا نقوم بضرب المقام والبسط في $\sqrt{2}$ لتجنب الجذر في المقام:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

إذاً، نتوصل إلى أن التعبير المعطى:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

وبالتالي، الإجابة هي كسر عشري عادي وهو $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

بالطبع، سأوضح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وسأذكر القوانين المستخدمة في كل خطوة.

التعبير الذي نحتاج إلى تقييمه وتبسيطه هو:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$

بدايةً، لنحل الجذر التكعيبي داخل الجذر التربيعي، نحتاج إلى معرفة أن:

$4096 = 2^{12}$

هذا يسهل علينا تبسيط التعبير:

$\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{2^{12}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{2^{6}}}}$

ثم نستمر في تبسيط:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{2^{6}}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{2^{3}}}}$

الآن، نستخدم قاعدة الأسس لتبسيط التعبير:

$\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{2^{3}}}} = \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}}$

في هذه الخطوة، قمنا بتبسيط الجذر التكعيبي.

ثم، نبسط المعامل في المقام باستخدام جذر التكعيب:

$\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$

الآن، نقوم بتبسيط الجذر:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

في هذه الخطوة، استخدمنا قاعدة جذور الكسر لتجنب وجود جذر في المقام.

ثم، لتجنب الجذر في المقام، قمنا بضرب المقام والبسط في $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

في النهاية، وصلنا إلى التبسيط النهائي:

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة أسس الأعداد.
2. تبسيط الجذور والتربيع.
3. قاعدة جذور الكسر.