تأثير تغييرات القيم على دوال الرياضيات

الدالة $q$ معرفة بالصيغة $q = \frac{5w}{4h(z^2)}$. إذا قمنا بتضاعف قيمة $w$، وضاعفنا قيمة $h$، وضاعفنا قيمة $z$ ، فبمقدار ماذا سيتضاعف الناتج $q$؟

للإجابة على هذا، سنقوم بتغيير قيم $w$ و $h$ و $z$ في الصيغة ونرى كيف يؤثر ذلك على الناتج. إليك الصيغة المعدلة:

$q’ = \frac{5(w’)}{4(h’)(z’^2)}$

حيث:

• $w’$ هو ضعف قيمة $w$، أي $w’ = 2w$
• $h’$ هو ضعف قيمة $h$، أي $h’ = 2h$
• $z’$ هو ثلاث مرات قيمة $z$، أي $z’ = 3z$

وبإدخال هذه القيم في الصيغة، نحصل على:

$q’ = \frac{5(2w)}{4(2h)(3z)^2}$

الآن سنقوم بتبسيط هذه الصيغة:

$q’ = \frac{10w}{4 \times 2h \times 9z^2}$

$q’ = \frac{10w}{72hz^2}$

التي تبسط إلى:

$q’ = \frac{5w}{36hz^2}$

الناتج $q’$ هو الناتج الجديد بعد تغيير قيم $w$ و $h$ و $z$. الآن سنقوم بحساب العامل الذي يتضاعف به $q$ عند تغيير هذه القيم. نقارن بين $q$ و $q’$ للعثور على هذا العامل:

$\text{العامل} = \frac{q’}{q} = \frac{\frac{5w}{36hz^2}}{\frac{5w}{4hz^2}}$

بتبسيط هذه النسبة، نحصل على:

$\text{العامل} = \frac{5w}{36hz^2} \div \frac{5w}{4hz^2}$

$\text{العامل} = \frac{5w}{36hz^2} \times \frac{4hz^2}{5w}$

$\text{العامل} = \frac{4}{36}$

$\text{العامل} = \frac{1}{9}$

إذاً، إذا تم ضرب قيم $w$ بمعامل 4، وقيم $h$ بمعامل 2، وقيم $z$ بمعامل 3، سيتم ضرب $q$ بمعامل $\frac{1}{9}$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الجبر والحساب لتحليل العلاقة بين المتغيرات وتحويل الصيغ. سنقوم بتغيير القيم في الدالة $q$ بناءً على الزيادات المعطاة في قيم $w$ و $h$ و $z$. سنتبع الخطوات التالية:

الدالة الأصلية:
$q = \frac{5w}{4h(z^2)}$

تطبيق التغييرات:
$w’ = 2w, \quad h’ = 2h, \quad z’ = 3z$

الدالة المعدلة:
$q’ = \frac{5w’}{4h'(z’^2)}$

والآن نقوم بتطبيق القوانين:

1. ضرب عددين:
   $q’ = \frac{5 \times 2w}{4 \times 2h \times (3z)^2}$

2. تبسيط العبارات:
   $q’ = \frac{10w}{4 \times 2h \times 9z^2}$
   $q’ = \frac{10w}{72hz^2}$

3. تبسيط أكثر:
   $q’ = \frac{5w}{36hz^2}$

والآن نقوم بحساب العامل الذي يتضاعف به $q$ بعد التغييرات. نستخدم العامل التالي:
$\text{العامل} = \frac{q’}{q}$

نستخدم الدالة الأصلية:
$q = \frac{5w}{4h(z^2)}$

ونستخدم الدالة المعدلة:
$q’ = \frac{5w}{36hz^2}$

$\text{العامل} = \frac{\frac{5w}{36hz^2}}{\frac{5w}{4hz^2}}$

نقوم بتبسيط النسبة:
$\text{العامل} = \frac{5w}{36hz^2} \div \frac{5w}{4hz^2}$

$\text{العامل} = \frac{5w}{36hz^2} \times \frac{4hz^2}{5w}$

$\text{العامل} = \frac{4}{36}$

$\text{العامل} = \frac{1}{9}$

إذاً، الناتج $q$ سيتضاعف بمعامل $\frac{1}{9}$ إذا تم ضرب قيم $w$ بمعامل 4، وقيم $h$ بمعامل 2، وقيم $z$ بمعامل 3.