باقي القسمة والأعداد الصحيحة

عند قسمة عدد ما على 39، يتبقى لدينا باقي يساوي 20. الآن، نريد معرفة الباقي عند قسم نفس العدد على 13.

لنقم بتمثيل العدد المطلوب بالرمز $x$. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية للوضع:

$x \equiv 20 \pmod{39}$

هذا يعني أن الفارق بين العدد والضعف مضاعف لعدد 39 (المعامل الموجب للقسمة) هو 20. الآن سنبدأ في حل هذه المعادلة.

يمكننا كتابة المعادلة على شكل أخر:

$x = 39k + 20$

حيث $k$ هو عدد صحيح. الآن، نحتاج إلى معرفة الباقي عند قسم $x$ على 13. لفعل ذلك، نستخدم نفس المعادلة ونحسب الباقي:

$x \equiv 20 \pmod{13}$

ونستخدم الصيغة التي كتبناها لتمثيل $x$:

$39k + 20 \equiv 20 \pmod{13}$

الآن سنحسب الباقي. يمكننا ضرب 39 في $k$ وإضافة 20، ثم نقوم بالقسمة على 13 للعثور على الباقي:

$26k + 20 \equiv 20 \pmod{13}$

نلاحظ أن $26k$ يكون مضاعفًا لـ 13، لذلك لا يؤثر على باقي القسمة. بالتالي، يمكننا تبسيط المعادلة إلى:

$20 \equiv 20 \pmod{13}$

وهذا يعني أن الباقي عند قسم $x$ على 13 هو 20.

إذاً، عندما يتم قسم العدد على 13، يكون الباقي هو 20.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتركيز على استخدام قوانين القسمة والباقي (الحساب المتبقي). لنقم بتفصيل الحل:

القسمة والباقي هي مفاهيم أساسية في الرياضيات، ونستخدمها لحساب ما تبقى عند قسم عددين. في هذه المسألة، لدينا عدد $x$ الذي عندما نقسمه على 39، يتبقى 20.

لتمثيل هذه الفكرة رياضيا، نقوم بكتابة المعادلة التالية:

$x \equiv 20 \pmod{39}$

هذا يعني أن هناك عددًا صحيحًا $k$ يجعل عبارة $39k + 20$ تمثل العدد $x$. هذه المعادلة تعبر عن الفكرة التي تقول إن العدد $x$ يمكن تمثيله بمضاعفات لـ 39 مع إضافة 20.

الآن، نريد أن نعرف باقي القسمة عند قسم $x$ على 13. نستخدم نفس المبدأ:

$x \equiv 20 \pmod{13}$

لتمثيل $x$ باستخدام الحساب المتبقي، نستخدم المعادلة التي كتبناها سابقًا:

$x = 39k + 20$

نستبدل قيمة $x$ في المعادلة الثانية:

$39k + 20 \equiv 20 \pmod{13}$

نبسط المعادلة:

$26k \equiv 0 \pmod{13}$

هنا، نستخدم قانون القسمة ونقوم بقسم كل جانب من المعادلة على 13:

$k \equiv 0 \pmod{13}$

هذا يعني أن $k$ يمكن أن يكون أي عدد صحيح. ولكن يمكننا تجاهله هنا لأننا نسعى للعثور على باقي القسمة عند قسم $x$ على 13.

باختصار، القوانين المستخدمة تشمل قانون القسمة والباقي واستخدام المفهوم الرياضي للتمثيل العددي.