انعكاس نقطة M حول محور الأفق (مسألة رياضيات)

نعطي نقطتين P و R بإحداثيات (2, 1) و (12, 15) على التوالي، ونعلم أن نقطة M هي منتصف القطعة PR. إذا قمنا بانعكاس القطعة PR حول محور الأفق (x-axis)، نرغب في حساب مجموع إحداثيات النقطة الناتجة عن انعكاس نقطة M.

للبداية، يجب حساب إحداثيات نقطة M، والتي تكون منتصف القطعة PR. يتم ذلك عن طريق حساب متوسط الإحداثيات للنقطتين P و R. لنحسب ذلك:

إحداثيات M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

حيث (x₁, y₁) هي إحداثيات النقطة P و (x₂, y₂) هي إحداثيات النقطة R.

بعد حساب إحداثيات M، سنقوم بانعكاس هذه النقطة عبر محور الأفق (x-axis). إن انعكاس نقطة (x, y) حول محور الأفق يعني الحفاظ على الإحداثيات الأفقية واجتياز الإحداثيات الرأسية. لذا، الإحداثيات الجديدة بعد الانعكاس ستكون (x, -y).

الآن، سنقوم بتطبيق هذه العملية على نقطة M. لنقم بحساب الإحداثيات الجديدة بعد الانعكاس:

إحداثيات نقطة M بعد الانعكاس = (x, -y)

حيث x هو إحداثيات M الأفقية و y هو إحداثيات M الرأسية.

أخيراً، سنقوم بجمع إحداثيات النقطة الناتجة بعد الانعكاس:

مجموع إحداثيات النقطة بعد الانعكاس = x + (-y)

الآن، لنقم بحساب هذا المجموع للحصول على الإجابة النهائية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الهندسة الرياضية ونتبع الخطوات التالية:

1. حساب إحداثيات نقطة M:
   إحداثيات M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

   حيث (x₁, y₁) هي إحداثيات النقطة P و (x₂, y₂) هي إحداثيات النقطة R.

2. انعكاس القطعة PR حول محور الأفق (x-axis):
   إحداثيات نقطة M بعد الانعكاس = (x, -y)

   حيث x هو إحداثيات M الأفقية و y هو إحداثيات M الرأسية.

3. جمع إحداثيات النقطة الناتجة بعد الانعكاس:
   مجموع إحداثيات النقطة بعد الانعكاس = x + (-y)

القوانين المستخدمة:

• منتصف القطعة الخطية (Midpoint Formula):
  إذا كانت نقطتين P(x₁, y₁) و R(x₂, y₂)، فإن نقطة M التي تكون منتصف القطعة PR تحسب بواسطة:
  $M\left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)$

• انعكاس حول محور الأفق (x-axis):
  إذا كانت لدينا نقطة (x, y)، فإن النقطة بعد الانعكاس حول محور الأفق ستكون (x, -y).

• جمع الإحداثيات:
  لجمع إحداثيات النقطة بعد الانعكاس، نقوم بجمع إحداثيات النقطة الأفقية وطرح إحداثياتها الرأسية.

لنقم الآن بحساب الإحداثيات وجمعها:

1. حساب إحداثيات M:
   $M\left(\frac{2 + 12}{2}, \frac{1 + 15}{2}\right) = M(7, 8)$

2. انعكاس القطعة PR حول محور الأفق:
   إحداثيات نقطة M بعد الانعكاس = (7, -8)

3. جمع الإحداثيات:
   $7 + (-8) = -1$

إذاً، مجموع إحداثيات النقطة بعد الانعكاس هو -1.