المتبقيات والقسمة العامة: حل المسألة (مسألة رياضيات)

لنعتبر متغيرًا $P(x)$ يمثل متعلقًا بهذا المعادلة العامة للمضاعفات:

$P(x) = (x – 19)Q(x) + X$
$P(x) = (x – 99)R(x) + 19$

حيث $Q(x)$ و $R(x)$ هما مضاعفات ذات درجة أقل من $P(x)$.

لنقم بحل المعادلتين للعثور على قيمة $X$:

عندما نقوم بتقسيم $P(x)$ على $(x – 19)$، يمكننا استخدام قاعدة القسمة للحصول على البقية، والتي هي $X$، لذلك:

$P(19) = X$

ومن المعلومات المعطاة أن البقية عند القسمة على $(x – 19)$ هي $X$.

بالنسبة للعلاقة الثانية، عندما نقسم $P(x)$ على $(x – 99)$، نحصل على بقية تساوي 19:

$P(99) = 19$

ومن المعلومات المعطاة أن البقية عند القسمة على $(x – 99)$ هي 19.

الآن، نحن بحاجة إلى معرفة ما هي البقية عندما يتم قسم $P(x)$ على $(x – 19)(x – 99)$.

لكننا بحاجة أولاً إلى إيجاد $P(x)$، لذا دعونا نقوم بحسابها:

$P(x) = (x – 19)Q(x) + X$
$P(x) = (x – 99)R(x) + 19$

نضرب المعادلتين معًا:

$P(x) = (x – 19)(x – 99)(A(x)) + (x – 19)B(x) + (x – 99)C(x) + D$

حيث $A(x)$، $B(x)$، $C(x)$، و $D$ هي متعلقات وظيفية.

لكن لدينا المعادلات التالية:

$P(19) = 19 \cdot 0 + 0 + 0 + D = D$
$P(99) = 80 \cdot 19 \cdot A(99) + 0 + 0 + 19 = 19$

من العلاقة الثانية، نحصل على:

$80 \cdot 19 \cdot A(99) + 19 = 19$
$80 \cdot A(99) + 1 = 1$
$A(99) = 0$

إذا، $A(99) = 0$.

وبما أن $A(99) = 0$، فإننا نستطيع التأكيد على أن:

$P(x) = (x – 19)(x – 99)(B(x)) + 19$

وبالتالي، يكون الباقي عندما يتم قسم $P(x)$ على $(x – 19)(x – 99)$ هو 19.

وإذا كانت الإجابة المعطاة هي $-x + 118$، فإن القيمة المفقودة $X$ تكون $X = 118$.

المزيد من المعلومات