القيمة المتوقعة في الرياضيات (مسألة رياضيات)

إذا كانت فرصة ظهور الوجه “الشمات” في رمي العملة هي $\frac{1}{3}$ وفرصة ظهور الوجه “الخال” هي $\frac{2}{3}$. وإذا كسبنا $3 إذا ظهر الوجه “الشمات” وخسرنا $2 إذا ظهر الوجه “الخال”. ما هو المتوقع لربحنا بعد أن نقوم برمي العملة مرة واحدة؟

لحساب القيمة المتوقعة (المتوسط الحسابي) للربح، يجب ضرب قيمة كل ناتج محتمل (الربح أو الخسارة) بالاحتمالية المقترنة بهذا الناتج ثم جمع الناتج.

لذا، القيمة المتوقعة للربح هي:

لذلك، القيمة المتوقعة لربحنا بعد رمي العملة مرة واحدة هي $-\frac{1}{3}، أو بالأخرى، نخسر $\frac{1}{3}$ دولار.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم القيمة المتوقعة (Expected Value) وقوانين حساب الاحتمالات. القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

1. قانون الاحتمالات: يتيح لنا حساب الاحتمالات لحدوث حالات مختلفة.

2. قانون القيمة المتوقعة: يمكننا استخدامه لحساب المتوسط الذي يتوقع أن نحصل عليه بناءً على احتمالات ونتائج مختلفة.

الآن، دعنا نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

لدينا احتمالات معينة لظهور كل من الوجوه في العملة:

• احتمال ظهور الوجه “الشمات” = $\frac{1}{3}$
• احتمال ظهور الوجه “الخال” = $\frac{2}{3}$

كما هو مذكور في المسألة، إذا ظهر الوجه “الشمات”، سنربح $3، وإذا ظهر الوجه “الخال”، سنخسر $2.

لحساب القيمة المتوقعة، نضرب كل قيمة محتملة بالاحتمال المقترن بها ونجمع الناتجات.

لذا، القيمة المتوقعة للربح هي:

إذن، القيمة المتوقعة لربحنا بعد رمي العملة مرة واحدة هي $-\frac{1}{3}، أو بشكل آخر، نتوقع أن نخسر $\frac{1}{3}$ دولار.