القيمة القصوى لتعبير الأسس. (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد القيمة القصوى للتعبير التالي على مجموعة الأعداد الحقيقية:
$10^x – 100^x.$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحويل التعبير إلى شكل يسهل التعامل معه. نستخدم تمثيل الأعداد لتبسيط التعبير:

$10^x – 100^x = (10^x – (10^2)^x) = 10^x – (10^x)^2.$

الآن، يمكننا تمثيل التعبير بشكل مركب كالتالي:

$f(x) = 10^x – (10^x)^2.$

لحساب النقطة القصوى، نقوم بحساب المشتقة الأولى للتعبير ونجد القيمة التي تجعل المشتقة تساوي صفرًا.

$f'(x) = 10^x \ln(10) – 2 \cdot 10^x \ln(10) = 10^x \ln(10) (1 – 2).$

الآن نحل المشتقة للحصول على النقطة الحرجة:

$10^x \ln(10) (1 – 2) = 0.$

هذا يعني أنه إما $10^x = 0$ (وهذا غير ممكن) أو $\ln(10) (1 – 2) = 0$. لكن $\ln(10)$ ليس يساوي صفرًا، لذلك نركز على الجزء الثاني:

$1 – 2 = -1 = 0,$

الذي يعطينا $x = 0$ كنقطة حرجة.

الآن، نحتاج إلى فحص سلوك الدالة حول هذه النقطة. نستخدم الفحص باستخدام القيم الأقرب: نقوم بفحص قيمة $x = 1$ وقيمة $x = -1$.

$f(1) = 10 – 100 = -90,$
$f(-1) = 0.1 – 0.01 = 0.09.$

نرى أن القيمة الأكبر تظهر عند $x = -1$، لذا نقوم بوضع الناتج في الصيغة:

$10^{-1} – (10^{-1})^2 = 0.1 – 0.01 = 0.09.$

إذا، القيمة القصوى للتعبير $10^x – 100^x$ هي $0.09$، وتظهر عند $x = -1$.

لحل مسألة العثور على القيمة القصوى للتعبير $10^x – 100^x$ على مجموعة الأعداد الحقيقية، نستخدم الفهم العميق لقوانين الجبر والتحليل الرياضي. سنقوم بتفصيل الحل والقوانين المستخدمة فيه.

1. تحويل التعبير:
   نبدأ بتحويل التعبير $10^x – 100^x$ إلى شكل يمكن التعامل معه بشكل أسهل. نستخدم قوانين الأسس للتحويل، حيث نعرف أن $100 = 10^2$. لذا يمكن كتابة التعبير على النحو التالي:
   $10^x – (10^2)^x = 10^x – 10^{2x}.$

2. استخدام قوانين الأسس:
   نستخدم قوانين الأسس للجمع والطرح لتبسيط التعبير. وفقًا لقوانين الأسس، يمكننا جمع الأسس إذا كانت الأسس متطابقة. لذا، نستطيع كتابة التعبير بشكل مبسط على النحو التالي:
   $10^x – 10^{2x}.$

3. حساب المشتقة الأولى:
   نقوم بحساب المشتقة الأولى للتعبير $f(x) = 10^x – 10^{2x}$ للعثور على النقاط الحرجة. نستخدم قاعدة القوة وقاعدة سلسلة الأساس لحساب المشتقة. المشتقة الأولى لكل جزء تكون على النحو التالي:
   $f'(x) = 10^x \ln(10) – 2 \cdot 10^{2x} \ln(10).$

4. حل المشتقة للعثور على النقاط الحرجة:
   نقوم بحل المشتقة للعثور على النقاط الحرجة. نضع المشتقة تساوي صفرًا ونحل للحصول على قيمة $x$ التي تجعل المشتقة تساوي صفرًا.

5. فحص السلوك حول النقاط الحرجة:
   نقوم بفحص سلوك الدالة حول النقاط الحرجة والنقاط الأخرى المهمة باستخدام فحص القيم المحيطة. نستخدم قيمًا محيطة لتحديد ما إذا كانت النقطة هي نقطة قصوى أو لا.

6. اختبار القيمة القصوى:
   بعد العثور على النقطة القصوى المحتملة، نقوم بحساب قيمة التعبير في هذه النقطة ونقارنها مع القيم الأخرى التي قد تكون نقط قصوى محتملة.

7. تحديد القيمة القصوى:
   نحدد القيمة القصوى للتعبير والنقطة التي تظهر فيها.

باستخدام هذه الخطوات وقوانين الجبر والتحليل الرياضي، يمكننا حل مسألة العثور على القيمة القصوى للتعبير $10^x – 100^x$ على مجموعة الأعداد الحقيقية.