العنوان: حل مسألة العناصر المتساوية للنظام النمطي (مسألة رياضيات)

إذا كان $n$ عددًا صحيحًا موجبًا و $a$ عددًا صحيحًا بحيث يتوافق مع كافة العناصر المضادة له على النظام المقرري للفئة $n$، فما هو الباقي عندما يتم قسم $a^2$ على $n$؟

لنحل هذه المسألة. افترض أن $a$ هو عنصر في المجموعة $Z_n$، حيث $Z_n$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة المتبقية عند القسمة على $n$، ويتمثل $a$ بأنه يتوافق مع مضاعفه العكسي في هذه المجموعة.

يمكننا كتابة الشرط المعطى بالطريقة التالية:

$a \equiv a^{-1} \pmod{n}$

الآن دعونا نقوم بتحليل ماذا يعني أن $a$ يكافئ عكسه في هذا السياق. إذا كان $a \equiv a^{-1} \pmod{n}$، فهذا يعني أن ضرب $a$ في عكسه $a^{-1}$ ينتج عنها الوحدة النمطية في هذا النظام، أي $a \times a^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$.

الآن، لنقم بحساب $a^2 \pmod{n}$ باستخدام الشروط المعطاة.

نقوم بضرب المعادلة السابقة في $a$، وبالتالي نحصل على:

$a \times a^{-1} \equiv 1 \times a \pmod{n}$

وبالتالي:

$a^2 \equiv a \pmod{n}$

إذاً، الباقي عندما يتم قسم $a^2$ على $n$ هو $a$ نفسه.

لنحل المسألة بمزيد من التفاصيل ونذكر القوانين المستخدمة في الحل.

أولاً، دعنا نتذكر بعض القوانين والمفاهيم المتعلقة بالعمليات الحسابية على الأعداد المتبقية أو النظم النمطية (modular arithmetic):

1. العنصر العكسي (Inverse Element): في النظم النمطية، عنصر $a^{-1}$ هو عنصر يراوح بين 0 و $n-1$، حيث يتحقق $a \times a^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$.

2. التعادل النمطي (Modular Congruence): نقول إن $a$ متساوي مع $b$ بالنسبة للنظام النمطي $n$ إذا كانت الفارق بينهما عددا صحيحا مضاعفا لـ $n$، أي $a \equiv b \pmod{n}$.

المسألة تقول إن $a$ يتساوى مع عكسه نمطياً في النظام $n$، أي $a \equiv a^{-1} \pmod{n}$.

لنقم بحل المسألة الآن باستخدام هذه القوانين:

نعرف أن $a \times a^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$، وهذا يعني أن $a$ وعكسه ينتجان وحدة النظام $n$. يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي:

$a \times a^{-1} = kn + 1$

حيث $k$ عدد صحيح أيجابي.

الآن، لنقم برفع الطرفين إلى الأس 2 للحصول على $a^2$:

$(a \times a^{-1})^2 = (kn + 1)^2$

$a^2 \times (a^{-1})^2 = k^2n^2 + 2kn + 1$

نعلم أن $a^2 \equiv a \pmod{n}$ و $a^{-1}$ هو عكس $a$، لذلك يمكن استبدال $a^{-1}$ بـ $a$:

$a^2 \times a = k^2n^2 + 2kn + 1$

وبما أن $a \equiv a^2 \pmod{n}$، فإن الباقي عند قسم $a^2$ على $n$ يكون هو نفسه $a$.