العنوان: حل مسألة: الرقم الثاني في مثلث باسكال (مسألة رياضيات)

الرقم الثاني في صف مثلث باسكال الذي يحتوي على 43 رقماً هو 42.

الحل:
صف مثلث باسكال يبدأ بالرقم 1، ومن ثم يتكون كل رقم في الصف التالي من جمع الرقمين الموجودين فوقه في الصف السابق. لحساب العناصر في صف مثلث باسكال، نستخدم الصيغة:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!}$

حيث $n$ هو عدد الصفوف، و $k$ هو موضع العنصر في الصف. الآن، للعثور على الرقم الثاني في صف مثلث باسكال يحتوي على 43 رقماً، نقوم بحساب $C(42, 1)$:

$C(42, 1) = \frac{42!}{1!(42 – 1)!} = \frac{42!}{1!41!}$

$C(42, 1) = 42$

لذا، الرقم الثاني في صف مثلث باسكال الذي يحتوي على 43 رقماً هو 42.

لحل المسألة والعثور على الرقم الثاني في صف مثلث باسكال الذي يحتوي على 43 رقماً، يمكننا استخدام قوانين ومفاهيم من الجبر والمثلثات.

1. مثلث باسكال:

   • مثلث باسكال هو ترتيب من الأعداد حيث يتكون كل صف من أعداد يبدأ بالرقم 1 ويتم اشتقاق كل عنصر في الصف اللاحق من جمع العناصر الموجودة فوقه في الصف السابق. على سبيل المثال، إذا كان الصف الأول يبدأ بالرقم 1، فإن الصف الثاني سيكون 1، 1، والثالث سيكون 1، 2، 1، وهكذا.

2. صيغة الجمع التكراري:

   • صيغة الجمع التكراري تستخدم لحساب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار عدد معين من بين مجموعة من العناصر. تستخدم هذه الصيغة في حساب العناصر في مثلث باسكال.

قانون الجمع التكراري يُعطى بالصيغة التالية:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد الصفوف في المثلث.
• $k$ هو الموضع في الصف.
• $n!$ تعني عامل القوى لعدد n وهو يُمثل العدد المتسلسل من 1 إلى n (مثلاً، 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1).
• $k!$ هو عامل القوى للعدد k.
• $(n – k)!$ هو عامل القوى للفرق بين عدد الصفوف والموضع.

باستخدام هذه الصيغة وقانون الجمع التكراري، يمكننا حساب الرقم الثاني في صف مثلث باسكال الذي يحتوي على 43 عنصرًا. في هذه الحالة، سنحسب $C(42, 1)$ حيث 42 هو عدد الصفوف و 1 هو الموضع في الصف.

$C(42, 1) = \frac{42!}{1!(42 – 1)!}$

$C(42, 1) = \frac{42!}{1!41!}$

$C(42, 1) = 42$

لذا، الرقم الثاني في صف مثلث باسكال الذي يحتوي على 43 رقمًا هو 42.