العلاقة بين جذور المعادلات التربيعية (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية $x^2+mx+n=0$ لها جذور تكون ضعف جذور المعادلة التربيعية $x^2+px+m=0.$ لنجد قيمة $n/p.$

لنبدأ بتعريف الجذور لكل من المعادلتين. لمعادلة $x^2+mx+n=0,$ فإن جذورها يمكن تمثيلها بواسطة $x_1$ و $x_2.$ وبالنسبة للمعادلة $x^2+px+m=0,$ فإن جذورها تكون $2x_1$ و $2x_2,$ حيث تمثل الجذرين نفسهما ولكن مضاعفين.

الآن، لنستخدم العلاقة بين مجموع الجذور والمعاملات في المعادلات التربيعية. إذا كانت $x_1$ و $x_2$ هما جذور المعادلة $x^2+mx+n=0,$ فإن:

$x_1 + x_2 = -\frac{m}{1}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{n}{1}$

وبناءً على العلاقة بين جذور المعادلتين، نعلم أن:
$2x_1 + 2x_2 = -(2m)$

لكن يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى:
$x_1 + x_2 = -m$

الآن، لنقم بحساب النسبة بين الجذرين في المعادلة الأولى والجذرين المضاعفين في المعادلة الثانية:

$\frac{2x_1 + 2x_2}{x_1 + x_2} = \frac{-(2m)}{-(m)} = \frac{2m}{m} = 2$

الآن، نعلم أن النسبة بين الجذور تكون 2. لكننا نعلم أيضًا أن النسبة بين الجذور تكون أيضًا نسبة بين المعاملات. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{n}{p} = \left(\frac{2x_1 \cdot 2x_2}{x_1 \cdot x_2}\right) = \frac{4(x_1 \cdot x_2)}{x_1 \cdot x_2} = 4$

إذاً، قيمة $n/p$ هي 4.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتركيز على العلاقات بين جذور المعادلات التربيعية واستخدام قوانين الجبر. سنقوم بتحليل العلاقة بين المعادلتين والوصول إلى النتيجة المطلوبة.

لنبدأ بتعريف المعادلتين:

1. المعادلة الأولى: $x^2 + mx + n = 0$ ، حيث تكون جذورها $x_1$ و $x_2$.
2. المعادلة الثانية: $x^2 + px + m = 0$ ، حيث تكون جذورها $2x_1$ و $2x_2$.

الآن، سنستخدم العلاقة بين جذور المعادلتين. إذا كانت $x_1$ و $x_2$ هما جذور المعادلة الأولى، فإن جذور المعادلة الثانية تكون $2x_1$ و $2x_2$. يمكننا كتابة العلاقة التالية بين مجموع وضرب الجذور:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{m}{1}$
2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{n}{1}$

ونعلم أيضًا أن:
$2x_1 + 2x_2 = -(2m)$

يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى:
$x_1 + x_2 = -m$

الآن، سنستخدم العلاقة بين مجموع وضرب الجذور للعثور على النسبة المطلوبة:

$\frac{2x_1 + 2x_2}{x_1 + x_2} = \frac{-(2m)}{-(m)} = \frac{2m}{m} = 2$

وهنا نستخدم قانون جبري أساسي.

الخطوة التالية هي استخدام النتيجة أعلاه للعثور على قيمة $n/p$. نستخدم العلاقة بين مجموع وضرب الجذور في المعادلات التربيعية:

$\frac{n}{p} = \left(\frac{2x_1 \cdot 2x_2}{x_1 \cdot x_2}\right) = \frac{4(x_1 \cdot x_2)}{x_1 \cdot x_2} = 4$

هنا نستخدم قانون إلغاء المشترك في البسط والمقام.

إذاً، قيمة $n/p$ هي 4.

تم استخدام قوانين الجبر مثل قانون جمع الجذور وقانون الإلغاء لحل هذه المسألة الرياضية.