مسائل رياضيات

الحد الأقصى لتعبير الجبر (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 07/02/2024
0

لنكتب المعادلة المعطاة باللغة الرياضية:
x+2y+z=4x + 2y + z = 4
ونريد إيجاد القيمة القصوى للتعبير التالي:
xy+xz+yzxy + xz + yz

سنستخدم تقنيات الجبر لحل هذه المسألة. لنبدأ بتحويل التعبير المطلوب لصيغة مطابقة أسهل للتعامل معها. سنقوم بتفكيك التعبير بحيث نجمع المصطلحات ذات نفس الأساس، ونجمعها معًا لتكون عبارة عن مربع مثلثي:

مواضيع ذات صلة
xy+xz+yz=x(y+z)+yz=x(4−2y)+yz=4x−2xy+yz.\begin{aligned} xy + xz + yz &= x(y + z) + yz \\ &= x(4 – 2y) + yz \\ &= 4x – 2xy + yz. \end{aligned}

وبما أننا نريد الحد الأقصى لهذا التعبير، سنبدأ بتحويله إلى صيغة مربعية عن طريق استكمال المربع.

سنكمل المربع عن طريق إضافة وطرح نفس العبارة داخل الأقواس مرتين:

xy+xz+yz=4x−2xy+yz=(2xy−2xy)+4x−2xy+yz=2xy−2xy+4x−2xy+yz=2xy+4x−2xy−2xy+yz=2xy−2xy+4x−2xy−2xy+yz+xy+2xy=(x+2y)2+(4x−2xy−2xy)=(x+2y)2+(4x−4xy).\begin{aligned} xy + xz + yz &= 4x – 2xy + yz \\ &= (2xy – 2xy) + 4x – 2xy + yz \\ &= 2xy – 2xy + 4x – 2xy + yz \\ &= 2xy + 4x – 2xy – 2xy + yz \\ &= 2xy – 2xy + 4x – 2xy – 2xy + yz + xy + 2xy \\ &= (x + 2y)^2 + (4x – 2xy – 2xy) \\ &= (x + 2y)^2 + (4x – 4xy). \end{aligned}

الآن، نملك تعبيرًا مربعيًا فيه مصطلح متبقي يحتوي على المتغيرات المتبقية. سنقوم بتلافي الإجراء التالي: نحاول أن نجد قيمة متغير (متغيرات) يجعل التعبير المتبقي يصبح صفراً.

للقيام بذلك، سنحاول تحويل التعبير المتبقي إلى صيغة تحتوي على $(x + 2y)$ و $(x – 2y)$، لكي نستفيد من المعادلة الأولى التي أعطيت في السؤال.

سنقوم بتجزئة $(4x – 4xy)$ على النحو التالي:

4x−4xy=4x−4xy+4y−4y=4(x−xy+y)=4(x(1−y)+y).4x – 4xy = 4x – 4xy + 4y – 4y = 4(x – xy + y) = 4(x(1 – y) + y).

والآن، نستطيع كتابة التعبير الكامل بصيغة تتضمن $(x + 2y)$ و $(x – y)$:

xy+xz+yz=(x+2y)2+(4x−4xy)=(x+2y)2+4(x(1−y)+y).\begin{aligned} xy + xz + yz &= (x + 2y)^2 + (4x – 4xy) \\ &= (x + 2y)^2 + 4(x(1 – y) + y). \end{aligned}

الآن، يتبقى لنا أن نجد قيمة $(x + 2y)$ من المعادلة المعطاة، لنقم بتعويضها في التعبير السابق ونبحث عن القيمة القصوى.

من المعادلة المعطاة:
x+2y+z=4x + 2y + z = 4
نستنتج أن:
x+2y=4−zx + 2y = 4 – z

سنقوم بتعويض هذه القيمة في التعبير المعدل:

xy+xz+yz=(x+2y)2+4(x(1−y)+y)=(4−z)2+4(x(1−y)+y)=(16−8z+z2)+4(x(1−y)+y)=16−8z+z2+4x(1−y)+4y.\begin{aligned} xy + xz + yz &= (x + 2y)^2 + 4(x(1 – y) + y) \\ &= (4 – z)^2 + 4(x(1 – y) + y) \\ &= (16 – 8z + z^2) + 4(x(1 – y) + y) \\ &= 16 – 8z + z^2 + 4x(1 – y) + 4y. \end{aligned}

الآن نريد أن نحدد الحد الأقصى لهذا التعبير. بما أن العبارة تحوي عدة متغيرات، سنقوم بمراقبة كل متغير على حدة للوصول إلى أقصى قيمة ممكنة.

  • الجزء $(16 – 8z + z^2)$ يمكن أن يأخذ قيمًا متعددة ولا يعتمد على $x$ أو $y$.
  • الجزء $4x(1 – y)$ يمكن أن يكون أكبر قيمة عندما يكون $x$ أقل قيمة و $y$ أكبر قيمة.
  • الجزء $4y$ يمكن أن يكون أكبر قيمة عندما يكون $y$ أكبر قيمة.

لذا، من أجل الحصول على القيمة القصوى للتعبير، يجب علي

المزيد من المعلومات

لحل المسألة الرياضية المعطاة، سنستخدم عدة خطوات وقوانين من الجبر والتحليل الرياضي. سنقوم بتفصيل الحل خطوة بخطوة مع ذكر القوانين والتقنيات المستخدمة:

  1. تحليل المسألة:
    نبدأ بفهم المعطيات المعطاة في المسألة. نعلم أن لدينا ثلاثة أعداد حقيقية $x$، $y$، و$z$، وأن المعادلة التالية تنطبق عليها:
    x+2y+z=4x + 2y + z = 4
    ونريد إيجاد القيمة القصوى للتعبير:
    xy+xz+yzxy + xz + yz

  2. تطبيق الجبر:
    نستخدم القواعد الجبرية لتحويل التعبير المطلوب إلى صيغة تسهل علينا حسابه. نقوم بفتح القوس وتجزئة التعبير:
    xy+xz+yz=x(y+z)+yz=x(4−2y)+yz=4x−2xy+yzxy + xz + yz = x(y + z) + yz = x(4 – 2y) + yz = 4x – 2xy + yz

  3. إكمال المربع:
    نقوم بتكملة المربع عن طريق إضافة وطرح نفس العبارة داخل الأقواس مرتين، للحصول على صيغة مربعية أكثر سهولة في الحساب:
    xy+xz+yz=(x+2y)2+(4x−4xy)xy + xz + yz = (x + 2y)^2 + (4x – 4xy)

  4. تحليل التعبير:
    نقوم بتحليل التعبير المتبقي للبحث عن أساليب لتحديد القيمة القصوى. نعرف أن:
    x+2y+z=4x + 2y + z = 4
    ونريد إيجاد القيمة القصوى للتعبير:
    (x+2y)2+(4x−4xy)(x + 2y)^2 + (4x – 4xy)

  5. استنتاج الحل:
    نحاول تحويل التعبير المتبقي إلى صيغة تتضمن $(x + 2y)$ و $(x – y)$، لكي نستفيد من المعادلة الأولى التي أعطيت في السؤال.
    نستخدم المعادلة المعطاة لتعويض قيمة $(x + 2y)$ في التعبير المتبقي.

  6. تحديد القيمة القصوى:
    نحاول تحديد الحد الأقصى للتعبير، بمراقبة كل متغير على حدة للوصول إلى أقصى قيمة ممكنة.

  7. القوانين المستخدمة:

    • قوانين الجبر: القدرة على تفكيك التعبيرات وتحويلها إلى صيغ مريحة للحساب.
    • مبدأ استكمال المربع: يساعد في تحويل التعبيرات إلى صيغ مربعية لتسهيل عمليات الحساب والتحليل.
    • استخدام المعادلات: لتحديد القيم المفقودة من خلال معادلات تربط بين المتغيرات.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حساب القيمة القصوى للتعبير وبالتالي حل المسألة بشكل كامل.

اخر تحديث 07/02/2024
0