الحد الأدنى لتعبير رياضي باستخدام قواعد المتغيرات (مسألة رياضيات)

لنكتب المسألة باللغة العربية:

لنفترض أن $x$ و$y$ و$z$ عبارة عن أعداد حقيقية موجبة بحيث ينطبق المعادلة $x + y + z = 3$. ما هو أقل قيمة يمكن أن تأخذه التالية:
$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z}.$

الآن، دعنا نحل هذه المسألة:

لنستخدم تقنية المتغير المضاف والمتغير المضروب لحل هذه المسألة. لنقوم بإضافة وضرب تعبير جديد للحد الأدنى، والذي يأخذ بعين الاعتبار المعادلة الأساسية $x + y + z = 3$.

لنضع متغيرًا جديدًا، ولنفترض أنه $t$:
$t = x + y + z$

الآن، سنقوم بتعويض قيمة $t$ بالمعادلة الأساسية، فنحصل على:
$t = 3$

الآن، سنقوم بكتابة التعبير الذي نريد العثور على الحد الأدنى له باستخدام المتغير المضاف والمتغير المضروب:
$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} = \frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} \times \frac{t}{t}$

الآن، سنقوم بتطبيق تقنية المتغير المضروب:
$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} \times \frac{t}{t} = \frac{4t}{xt} + \frac{9t}{yt} + \frac{16t}{zt}$

الآن، نحن نعلم أن $t = 3$، لذلك يمكننا استبدالها:
$\frac{4t}{xt} + \frac{9t}{yt} + \frac{16t}{zt} = \frac{4 \times 3}{x \times 3} + \frac{9 \times 3}{y \times 3} + \frac{16 \times 3}{z \times 3}$

ببساطة، يمكننا إلغاء الثوابت وتبسيط التعبير للحصول على:
$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z}$

الآن، لدينا التعبير نفسه الذي نريد العثور على الحد الأدنى له، والذي يتحكم فيه $x$ و$y$ و$z$. ولكن نلاحظ أن التعبير في صورةهذه تشبه قاعدة متطابقة بالمتغير، لذلك القيمة الصغرى ستكون عندما تكون قيم $x$ و$y$ و$z$ متناسبة مع القيمة الموجودة في البسط.

بمعنى آخر، يمكننا استنتاج أن القيم الدنيا للتعبير تحدث عندما:
$x = \frac{4}{t}, \quad y = \frac{9}{t}, \quad z = \frac{16}{t}$

إذاً:
$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} = \frac{4}{\frac{4}{t}} + \frac{9}{\frac{9}{t}} + \frac{16}{\frac{16}{t}} = t + t + t = 3t$

ومن المعلوم أن $t = 3$، لذلك:
$3t = 3 \times 3 = 9$

إذاً، القيمة الصغرى للتعبير هي $9$.

وبالتالي، القيمة الدنيا للتعبير:
$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} = 9$

لحل المسألة المذكورة، سنستخدم تقنيات الأسس الرياضية المتقدمة مثل قاعدة المتغير المضروب وقاعدة المتغير المضاف، بالإضافة إلى استخدام الدالة الهدف والحدود المعطاة.

لنبدأ بتفصيل الحل:

1. التعبير الأصلي: المعادلة التي نريد أن نقلل من قيمتها هي:
   $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z}$

2. استخدام قاعدة المتغير المضروب والمتغير المضاف: نضع متغيرًا جديدًا $t$ يمثل $x + y + z$. هذا يسمح لنا بتطبيق القاعدة المذكورة أعلاه.

3. تطبيق القاعدة وإيجاد العلاقة بين $t$ و$x$ و$y$ و$z$:
   $t = x + y + z = 3$

4. تطبيق القاعدة على التعبير الأصلي:
   $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} = \frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} \times \frac{t}{t}$

5. تبسيط التعبير باستخدام العلاقة بين $t$ و$x$ و$y$ و$z$:
   $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} \times \frac{t}{t} = \frac{4t}{xt} + \frac{9t}{yt} + \frac{16t}{zt}$

6. تحديد القيم المثلى لـ$x$ و$y$ و$z$:
   $x = \frac{4}{t}, \quad y = \frac{9}{t}, \quad z = \frac{16}{t}$

7. إيجاد القيمة الصغرى للتعبير باستخدام القيم المثلى لـ$x$ و$y$ و$z$:
   $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{16}{z} = \frac{4}{\frac{4}{t}} + \frac{9}{\frac{9}{t}} + \frac{16}{\frac{16}{t}} = t + t + t = 3t$

8. العثور على القيمة الأقل بتعويض قيمة $t$ التي تساوي $3$:
   $3t = 3 \times 3 = 9$

9. القانون المستخدم:

• قاعدة المتغير المضروب والمتغير المضاف: تسمح لنا باستبدال التعبير الأصلي بتعبير يحتوي على المتغير الجديد.
• الدالة الهدف: نبحث عن قيمة دنيا للتعبير يمكننا الحصول عليها بتحديد القيم المثلى للمتغيرات.
• الحدود المعطاة: الشرط $x + y + z = 3$ يفرض قيمة ثابتة للمتغير الجديد $t$.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة أعلاه، يتمكن المحلل الرياضي من إيجاد القيمة الدنيا للتعبير المعطى، وهي $9$.