التسلسل الرياضي: البحث عن القاعدة والقيمة (مسألة رياضيات)

الأعداد الأولى 20 في التسلسل هي:

$2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 12$

نظرًا لأننا نرى أن الأعداد تتكرر في كل صف، يمكننا تلاحظ أن الأعداد تظهر في الصف الأول مرة واحدة، في الصف الثاني مرتين، وهكذا. بصفة عامة، إذا كان صف رقم $n$، فإن العدد $X$ يظهر $n$ مرات.

لحساب قيمة $X$ في الصف رقم $40$، يجب أن نفهم في أي صف يظهر العدد $X$ للمرة الـ40. يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

حيث أن $n$ هو رقم الصف الذي نريد معرفة عدد مرات ظهور $X$ فيه. في هذه الحالة، نحتاج إلى حل المعادلة:

$\frac{n(n + 1)}{2} = 40$

نجد أن $n = 8$، إذاً في الصف الثامن يظهر العدد $X$ للمرة الـ40. ولكن، نريد معرفة القيمة الفعلية لـ $X$، وهذا يعني أننا نحتاج إلى إضافة جميع الأعداد في الصف الثامن. لكن هذا يسهل علينا لأننا نعلم أنها ستكون ضعف القيمة في الصف الرابع، الذي هو $8$.

إذاً، قيمة $X$ هي $8 \times 2 = 16$.

إجابة المسألة هي أن قيمة العدد $X$ هي $16$، وهذا يظهر في الصف الثامن للمرة الـ40.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفهم النمط في التسلسل واستخدام بعض القوانين الرياضية. نعلم أن الأعداد تظهر بشكل منتظم وأن كل صف يحتوي على نفس القيمة. لنقم بتحليل النمط واستخدام بعض القوانين المهمة:

1. فهم النمط:

   • في الصف الأول، يظهر العدد 2 مرة واحدة.
   • في الصف الثاني، يظهر العدد 4 مرات.
   • في الصف الثالث، يظهر العدد 6 مرات.
   • وهكذا.

2. القاعدة العامة:

   • نرى أنه في الصف رقم $n$، يظهر العدد $2n$ مرات.

3. استخدام المعادلة التربيعية:

   • نحن بحاجة إلى حساب قيمة $n$ عندما تكون مجموع الأعداد في الصف $n$ هو 40. يمكننا استخدام المعادلة:
     $\frac{n(n+1)}{2} = 40$

   • حل هذه المعادلة يعطينا $n = 8$.

4. استخدام النمط للعثور على قيمة $X$:

   • نحن نعلم أن قيمة $X$ تظهر $2n$ مرة في الصف $n$. في هذه الحالة، تظهر $X$ في الصف 8، لذا يجب أن تظهر $2 \times 8 = 16$ مرة.

5. الحساب النهائي:

   • نعلم أن القيمة في الصف الرابع هي 8. إذاً، قيمة $X$ في الصف الثامن ستكون $8 \times 2 = 16$.

باختصار، قمنا بفهم النمط في التسلسل، واستخدمنا المعادلة التربيعية لحساب قيمة $n$، ثم استخدمنا النمط للعثور على قيمة $X$ في الصف الذي تظهر فيه للمرة الـ40. القوانين المستخدمة هي القاعدة العامة والمعادلة التربيعية، مما أدى إلى الحساب الدقيق لقيمة $X$ وهي 16.