الاحتمالات والقيمة المتوقعة لرمي النردين (مسألة رياضيات)

عند رمي زوج من النرد القياسية، ما هو القيمة المتوقعة لعدد الأوجه الواحدة المحصل عليها؟ قد يكون السؤال أبسط مما يبدو على الفور، ولكنه يتطلب فهمًا عميقًا لمفهوم القيمة المتوقعة في سياق الاحتمالات.

لنقم أولاً بتحديد المجال الممكن للنتائج. يوجد لدينا نردين، وكل نرد لديه ست وجوه، يتراوح عدد الوجوه من 1 إلى 6. لذلك، لدينا 6 خيارات مختلفة لكل نرد. إذاً، لدينا مجموعًا 6 × 6 = 36 نتيجة ممكنة.

الآن، نحن نريد أن نعرف كم عدد الوجوه المتوقعة هو 1. عندما نلقي نظرة على النردين، يمكن أن يكون وجه واحد على النرد الأول أو الثاني أو على كليهما. لذلك، لدينا 11 حالة ممكنة حيث يظهر الرقم 1.

الآن، نحسب الاحتمال لكل حالة. هنا هو الحساب:

$P(\text{وجه 1}) = \frac{11}{36}$

أخيرًا، نحسب القيمة المتوقعة بضرب كل احتمال في القيمة المتوقعة للحالة:

$E = \frac{11}{36} \times 1 + \frac{25}{36} \times 0 = \frac{11}{36}$

إذا كانت القيمة المتوقعة لعدد الأوجه الواحدة عند رمي نردين هي $\frac{11}{36}$، وهي كسر عادي.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية للاحتمالات وكيفية حساب القيمة المتوقعة. القوانين المستخدمة هي قوانين الاحتمالات ومفهوم القيمة المتوقعة.

أولًا، لنستعرض القوانين:

1. مجال النتائج:

   • لدينا زوج من النرد القياسية، وكل نرد لديه ست وجوه، تتراوح قيمها من 1 إلى 6.

2. الاحتمالات:

   • يتمثل الاحتمال في نسبة عدد الحالات الملائمة إلى إجمالي عدد الحالات الممكنة. في هذه الحالة، كان لدينا 11 حالة ملائمة حيث يظهر وجه 1.

3. قيمة متوقعة:

   • القيمة المتوقعة هي مجموع ضرب كل قيمة ممكنة في احتمال حدوثها.

الآن، دعونا نقوم بحساب القيمة المتوقعة:

$E = \frac{11}{36} \times 1 + \frac{25}{36} \times 0$

حيث:

• $\frac{11}{36}$ هو احتمال ظهور وجه 1 على أحد النردين.
• $\frac{25}{36}$ هو احتمال عدم ظهور وجه 1 على أي من النردين.

المجموع النهائي يمثل القيمة المتوقعة لعدد الأوجه الواحدة، والتي تكونت من الأحتمال المرتبط بظهور وجه 1 (وهو 1) والأحتمال المرتبط بعدم ظهور وجه 1 (وهو 0).

لذا، القيمة المتوقعة:

$E = \frac{11}{36}$

تمثل القيمة المتوقعة كسر عادي وتعبر عن المتوسط المتوقع لعدد الأوجه الواحدة عند رمي نردين.